相似三角形复习5拔高.ppt

1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB·EC F A B C E D 2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(ABAE), 求证：?AEF∽ ?ECF E C D B A F 2、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC ;∠AEB= ∠CED. D A B C E 二、作垂线 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证： 证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽ ∴ ∴ （1） ∽ ∴ ∴ （2） 又 ∴ AN=CM 又 （1）+（2） ∴ 2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证： 2、证明： 过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F， 则CEPF为矩形∴ PF EC ∵ ∴ ∽ ∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在 和 中：CP⊥MN于Q ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∽ ∴ 即 由（1）（2）得 （2） 三、作延长线 例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC 例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF 解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF·BF 四、作中线 例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。 解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC ∴ ∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC= BC （1） ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ 由（1）（2）得， ∴ （2） ∴ 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造 与 相似是解题关键 3、 理由？（用三种解法） 方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。 方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC 在△BED与△BCD中， 方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。 我有哪些收获呢？ 与大家共分享！ 相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 例题： 如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1， 求：BE：EF的值. D A B C E F E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 一、作平行线 D A B C E F n 2k k 解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P， P ?y y n y D A B C E F n 过点D作CA的平行线交BF于点P， P n 2k k y y 4y ?y ∴BE：EF=5：1. 则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF， 所以BE=5EF D A B C E F n n 2k 解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q， y k Q ?y 2y D A B C E F n n 过点D作BF的平行线交AC于点Q， Q 2k k ?y 2y 5y y ∴BE：EF=5：1. ∴ D A B C E F 2k 解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S， S n n k ?k D