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矩阵理论-第六讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 上节内容回顾 范数在优化问题中的应用 几个重要的不等式 有限维赋范空间的范数特性 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法 标准正交基 Gram-Schmidt正交化定理 设X是内积空间，而 是X中线性无关的子集，则存在标准正交集 ，使得 Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基 标准正交集 的完全性 标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在，其必为0，即若 ，使 ， ，则必有 举例 标准正交基 或 ，可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对应于 的系数为 又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系数为 ，则 标准正交基 ，在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系数为 ，则 酉矩阵 对 ，若其n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩阵具有怎样的性质？ 或 ，其中 具有这样性质的矩阵称为酉矩阵（Why call it 酉？） 酉 = U，maybe: Uniform: not changing，因为给定A为酉矩阵，则 即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离不变。 复内积空间 称为酉空间??? 酉矩阵的性质： 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证1：A是酉矩阵 酉矩阵 酉矩阵的性质： 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证2： 若A, B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵 证明： 酉矩阵 酉矩阵的性质： 若A是酉矩阵，则 ，或 证明： 酉矩阵 酉矩阵的性质： A是酉矩阵 A的n个列向量是两两正交的单位向量 证明： 设矩阵 ，则 易见，A是酉矩阵的充分必要条件是 酉相似下的标准形 方阵A有n个线性无关的特征向量（A的所有特征值的几何重数等于其代数重数） 若此条件不满足，退而求其次，方阵A在复数域上总是能相似于Jordan标准形：分块对角矩阵 再退而求其次，不管n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特征值的代数重数和几何重数，方阵A总可以酉相似于一个上三角矩阵 酉相似下的标准形 Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 设 ， 则A可酉相似于上三角矩阵T，即 ，且 ，使得 证明: 用归纳法证明。当n = 1时，显然成立。假设Schur定理对n – 1阶矩阵成立 设 为A的属于 的特征向量，因 ，将其化为单位特征向量 ， 仍是A的属于 的特征向量。 因 中线性无关的向量可扩充为其基，将 扩充为 的一组基： 酉相似下的标准形 依Gram-Schmidt正交化程序，将其化为 的标准正交基 以此标准正交基作列向量，则构成n阶酉矩阵 注意到 及 的列向量的正交性， 酉相似下的标准形 是n – 1阶矩阵，根据归纳假设， ，且 使得 构造分块矩阵 酉矩阵