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矩阵理论-第七讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 上节内容回顾 酉矩阵 n个列向量是一个标准正交基 酉相似下的标准形 Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 正规矩阵 用酉矩阵化正规矩阵为对角形 Hermite矩阵的正定性 Hermite矩阵正定性的定义 设 ，且 ，即A是Hermite矩阵。如果对任意 都有 则称A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵） 定理 设A是Hermite矩阵，则下列条件等价 A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）； A的特征值全为正实数（非负实数）； ，使得 证明： (1) ?(2)：由上一讲的推论1，Hermite矩阵的特征值均为实数 现证其为正。A是正规矩阵， ， 即存在酉矩阵U Hermite矩阵的正定性 使得 上式右边同乘以列向量： 左边同乘以行向量 ，可得 令 ，若 ，则 ，由于A是Hermite正定阵 假设 ，取 Hermite矩阵的正定性 则x的第i个分量亦不为零，但 与A是Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即A的特征值全为正实数 (2) ?(3)：由 可得： 令 即证 (3) ?(1)：因为 ，所以对任意 ， 由内积的正定性 Hermite矩阵的正定性 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 由 易知 定理 设 ，则 和 的特征值全为非负实数； 与 的非零特征值相同； 证明： 1. 是Hermite矩阵，对任意 半正定 的特征值全为非负实数 同理取行向量 ，可得 Hermite矩阵的正定性 2. 设x是 的属于其非零特征值 的特征向量，即 ，且 否则， 同理可证 的非零特征值也是 的特征值（只要设 ） 3. 由 反之 由内积的正定性 与 同解，解空间的维数相同： 上式中以 代替 Hermite矩阵的正定性 设 是Hermite矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 证明： 必要性 A是Hermite矩阵 都是Hermite矩阵 令 ，其中 Hermite矩阵的正定性 对任意 都是正定阵 Hermite正定矩阵的行列式大于零 充分性 设 ，对阶数n用数学归纳法证明A是Hermite正定矩阵。 当k = 1时， 是Hermite正定矩阵