矩阵行列式复习总结.ppt

-*- 设方阵B为幂等矩阵， （即 ，从而对正整数k， ） 证明：A是可逆矩阵，且 证明 11 -*- 12 设 A , B 和 A+B 均可逆 , 证明 也可逆,并求其逆. 证 矩阵 1. 矩阵的定义 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法、数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘： 乘法满足 矩阵乘法不满足： 交换律、消去律 A是n 阶方阵， 方阵的幂： 方阵的多项式： 并且 （m,k为正整数） 方阵的行列式：基本计算方法 满足: 转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 满足： 对称矩阵和反对称矩阵： 3. 逆矩阵 定义： A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论： 设A、B为同阶方阵，若 则A、B都可逆，且 可逆矩阵的性质 同阶可逆 证明： 逆矩阵求法： （1）伴随矩阵法 （2）推论法 （3）初等变换法 　　分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． 矩阵的等价： 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。 初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 定理： 左乘变行，右乘变列 解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆) 矩阵方程 解 伴随矩阵： 1、定义（项数、乘积项、符号） 2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积 3、性质 4、特殊关系式 n阶方阵的行列式 5、展开定理 设A为3阶方阵, , 求 解： 例1 2 设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则 3 设 A、B 都是 n 阶方阵，则 e 解 4 解 5 注 当A与B可交换时，有下面二项展开式 称为纯量矩阵，它与任何方阵可交换。 设分块矩阵 ，其中A是m阶方阵，B是 n阶方阵，证明 。 设 备用题 证明 对 作ri+krj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为 对 作ci+kcj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为 于是，对 的前m行作与 相同类型的变换ri+krj ，再对后n列 作与 相同类型的变换ci+kcj ，化为下三角行列式 所以 类似地，若 其中A是m阶方阵，B是n阶方阵， 则 分别计算下面两个行列式 解 6 设 A为n方阵, 证明 证明： (1)如果A=O, 则结论显然成立. 得A=O ,矛盾。 (2) 如果 , 由(1)结论成立。如果 , 如果A≠O,反证法 两边右乘 假设 ,则 可逆,由 7 √ 交换A的第1行与第2 设A为n阶可逆矩阵 ) 2 ( n 3 行得到矩阵B，则（） * * ) ( B A A 的第一列与第二列得到 交换 * * ) ( B A B 的第一行与第二行得到 交换 * * ) ( B A C - 的第一列与第二列得到 交换 * * ) ( B A D - 的第一行与第二行得到 交换 8 -*- ,证明AB=0的充分必要条件 是B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解. 证 9 10 证明： 思考: AAT = O 如何? . O A O A A T = = ，证明 设 则 设 , ) , , , ( 2 1 n A a a a L =