矩阵论—相似对角化.ppt

捕食者—食饵系统模型 模型求解 推论2. 在复数域C上的线性空间中，如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可对角化. 特别地， 为　的特征子空间. 定理2. 设　为n维线性空间V的一个线性变换， 为 全部不同的特征值，则　可对角化 3、对角化的一般方法 1° 求出矩阵A的全部特征值 2° 对每一个特征值 　，求出齐次线性方程组 设 为维线性空间V的一个线性变换， 为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A. 步骤: 的一个基础解系（此即　的属于 的全部线性无关 的特征向量在基　　　　　下的坐标）. 3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 　有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而　　　　　 T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵. * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院 陈建华 矩 阵 论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、相似矩阵 二、相似对角化条件 三、相似对角化的应用 四、线性变换的对角化 1.2 相似对角化 一、相似矩阵 定义 设A、B为复数域C上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 使得 则称矩阵A相似于B，记为 （1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： ② 对称性： 基本性质 ③ 传递性： (2) 设矩阵A相似于B，则： ① ② ③ ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 设矩阵A相似于B，f (x)是多项式 则： ① ② ③ ④ 给定An×n ，与A相似的矩阵很多，即存在B 及可逆矩阵P，使得P－1AP＝B～A，故从其中寻找一个“最简单的” 矩阵作为这一相似类的代表。 (是什么？怎么求？相应的P=?) 与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己 (P－1(aE)P＝aE) 仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否相似于一个对角矩阵(称A可对角化问题) ？ 二、相似对角化条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 如果一个矩阵能与对角形矩阵相似，则称该矩阵可对角化。 例子 定理1 A有n个线性无关的特征向量 即 A 的特征值 则，P 可逆 记 矩阵可对角化条件 记 线性无关 = ＝ 由定理1, 矩阵A是否与一对角矩阵相似, 只需考察A是否有n个线性无关的特征向量；若求出A的n个线性无关特征向量： ,令 就能使 为对角阵， 主对角线上的元素依次为 所属的特征值 第五章 矩阵的特征值与特征向量 定理2. An×n有n个不同特征值 (充分不必要) 定理3. A的每一个ki重特征值 对应ki个线性无关的特征向量 An×n相似于对角矩阵 即每个特征值的代数重数等于其几何维数 第五章 矩阵的特征值与特征向量 1. ——X1=(1,-1,0)T ——X2=(1,-1,1)T ——X3=(0,1,-1)T 2. ——X1=(1,1,2)T —X2=(1,1,0)T, X3=(-1,0,1)T 第五章 矩阵的特征值与特征向量 3. 代数重数2，几何维数1. ——X1=(0,0,1)T ——X2=(1,2,-1)T A只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若当形矩阵相似 注:设 , 由AP＝PJ求出a, b, c，确定P. ? 解:由已知，B 的特征值为 1-3+1=-1， 8-6+1=3， 27-9+1=19 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相似对角化应用举例 Fibonacci数列 1202年，意大利数学家Fibonacci出版了他的《算盘书》。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的問題：如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三個月里，又能生一对小兔，假定在不发生死亡的情況下，由一对出生的小兔开始，一年后会有多少对兔子？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Fibonacci数列通项公式求解模型 模型建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A的特征值为 对应的特征向量分别为 模型求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 缘结黄金分割比