离散数学集合与关系.ppt

第三章 集合与关系 3-1 基本概念 3.1 集合与元素 集合是个最基本的概念。 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。用大写的英文字母表示。 这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N，而1.5不属于N 写成?(1.5∈N), 或写成 1.5?N。 3.2 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合只给出朴素的定义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。 3.3 集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出(或有规律的列出)，写在大括号内。 例如，N={0,1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子(或谓词公式)描述元素的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则a?A。 3.4 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c,a}，B={c,b,a}，则A与B是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {0,1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q ⑷集合中的元素也可以是集合. 比如：{ {12信息一班同学}、{12信息二班同学} }就表示12信息专业同学集合. 3.5 集合之间关系 一、 被包含关系(子集) ? 1.定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作A?B。 文氏图表示如右下图。 例如，N是自然数集合， R是实数集合，则N?R 谓词定义： A?B??x(x∈A?x∈B) 2. 性质： ⑴有自反性，对任何集合A有A?A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，有A?B且 B?C ，则A?C。 ⑶有反对称性，对任何集合A、B，有A?B且 B?A ，则A=B。 二. 真被包含关系(真子集) ? 1. 定义：A、B是集合，如果A?B且A≠B，则称B真包含A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作A?B。 谓词定义：A?B?(A?B)?(A≠B) ? ?x(x∈A?x∈B) ? ?x(x∈B?x?A) 2. 性质 传递性，对任何集合A、B、C，如果有A?B且 B?C ，则A?C。 三. 相等关系 1.定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等。记作A=B。 定理：A=B当且仅当A?B且 B?A。 证明：充分性，已知A?B且 B?A，假设A≠B，则至少有一个元素a,使得a∈A而a?B；或者a∈B而a?A。如果a∈A而 a?B，则与A?B矛盾。如果a∈B而a?A，则与 B?A矛盾。所以A=B。 必要性显然成立，因为如果A=B，则必有A?B且 B?A。 谓词定义： A=B?A?B?B?A ??x(x∈A?x∈B)??x(x∈B?x∈A) ??x((x∈A?x∈B)?(x∈B?x∈A)) ??x(x∈A?x∈B) 2. 性质 (1)有自反性，对任何集合A，有A=A。 (2)有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则B=A。 (3)有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C ，则A=C。 练习题：设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴ {a}∈A ⑵ ?({a}? A) ⑶ c∈A ⑷ {a}?{{a,b},c} ⑸ {{a}}?A ⑹ {a,b}∈{{a,b},c} ⑺ {{a,b}}?A ⑻ {a,b}?{{a,b},c} ⑼ {c}?{{a,b},c} ⑽ ({c}?A)?(a∈Φ) 3.6 特殊集合 一.全集 E 定义：一定范围内，所有集合均为某一集合的子集，称之为全集，记作E。 其实就是我们说的论域. 它的文氏图如右图。 由于讨论的问题不同， 全集也不同。所以全集不唯一。例如， 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全