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第六章 树 教学目的与要求 本章目的是介绍二叉树的定义、性质、存储结构、二叉树遍历、线索化，树的定义、存储结构、树遍历，树和森林与二叉树的转换，哈夫曼树和哈夫曼编码等内容。要求在熟悉这些内容的基础上，重点掌握二叉树的遍历算法及其有关应用。 重点和难点 重点掌握二叉树的遍历算法及其有关应用。难点是使用本章所学到的有关知识设计出有效算法，解决与树或二叉树有关的应用问题。 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 6.1 树的定义 定义 定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) 特点： 树中至少有一个结点——根 树中各子树是互不相交的集合 基本术语 结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)——结点拥有的子树数 叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~ 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 树的度——一棵树中最大的结点度数 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… 深度(depth)——树中结点的最大层次数 森林(forest)——m(m?0)棵互不相交的树的集合 6.2 二叉树 定义 定义：二叉树是n(n?0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 基本形态 二叉树性质 性质1： 几种特殊形式的二叉树 满二叉树 定义： 性质5：对于具有n个结点完全二叉树，我们从根结点起，自上而下，从左到右给所有结点编号，假设编号为i的结点为ki(1≤i≤n)，则有： ①若i1，则ki的双亲编号为；若i＝1，则ki是根结点，无双亲； ②若2i≤n，则ki的左孩子编号为2i；否则，ki无左孩子。即完全 二叉树中编号i的结点必定是叶子结点。 ③若2i+1≤n，则ki的右孩子编号为2i+1。 ④若i为奇数且不为1，则ki的左兄弟编号为i-1。 ⑤若i为偶数且小于n，则ki的右兄弟编号为i+1。 6.3 树的存储结构 顺序存储结构 　完全二叉树的顺序存储：由性质５可知，对完全二叉树各结点编号所得层次序列，足以反映结点间的逻辑关系。因此，可以将完全二叉树中所有结点，按编号顺序依次存储在一个向量bt[0..n]中，其中bt[0]用来存储结点数目或不用，bt[1..n]用来存储结点。这样就构成了完全二叉树的顺序存储结构。 一般二叉树的顺序存储：为了象完全二叉树一样，结点编号所得层次序列能够反映结点间的逻辑关系，一般二叉树的顺序存储是按完全二叉树的形式存储树中结点的。具体实现方法是：在一般二叉树上添上一些实际上并不存在的“虚结点”，使它成为完全二叉树的模样，而在存储结构中，用某一特殊值表示“虚结点”。这样就构成了一般二叉树的顺序存储结构。 若一般二叉树的模样较完全二叉树相差甚远，需要添加的虚结点将很多，这样会造成存储空间的大量浪费。在最坏的情况下，一个深度为k且只有k个结点的右单支树需要 2k-1个结点的存储空间。 例: 链式存储结构 链式存储结构是存储二叉树的最自然的方法。通常分为两种，即二叉链表和带双亲指针的二叉链表（亦称为三叉链表）。 二叉链表：每个结点设置三个域，分别是存储结点本身的数据域data、指向左孩子的左指针域lchild和指向右孩子的右指针域rchild。结点结构为: 树的存储结构 双亲表示法 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 特点：找双亲容易，找孩子难 例: Ｃ语言类型说明 typedef char datatype; //假设结点值为字符型 typedef struct node { datatype data; struct node *lchild,*rchild; } Bintnode; //定义结点为结构类型 typedef Bintnode *Bintree;///定义指向结点的指针类型 孩子表示法 多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根 结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D 结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d 孩子兄弟表示法（二叉树表示法） 实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针