第01讲 行列式的定义及性质.ppt

第1讲 1.1 n阶行列式的定义及性质 * 第1章 行 列 式 1.1 n 阶行列式的定义及性质 二阶行列式用于解二元一次联立方程组 求解下面的方程组 则二元一次方程组的解为： D称为线性方程组的系数行列式. 2.三阶行列式用于解三元一次联立方程组 定义三阶行列式如下： 例如： 对于线性代数方程组 其中， 1.1.1 n 阶行列式的定义（递归法） 定义 由n2个数aij(i,j=1,2,?,n)组成的n 阶行列式 当n=1时，D＝a11 当n?2时, 是一个算术式. 其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素; Mij是划去D的第i行第j列后的n?1阶行列式; M ij 称为aij的余子式; Aij =(-1)i+j Mij称为aij的代数余子式。 例1 对角行列式、下三角行列式 证明： 例2 计算行列式 =(?1)n(n?1)/2a1a2?an?1an = (?1)n?1 an Dn-1 =? Dn=(?1)n+1 an Dn-1 =(?1)n?1 an (?1)n?2 an?1 Dn-2 解： 1.1.2 n 阶行列式的性质 行列式的转置 称行列式 为行列式 转置行列式 性质1 行列式D与其转置行列式DT相等. 证明： 采用归纳法证明.下面以4阶行列式说明之。 当n=1时， 当n=2时， 归纳假设，对于阶数不超过3的行列式，结论成立。 对于4阶行列式 由归纳假设， 对二阶矩阵转置后得到： 证毕 ∵阶数不超过n的行列式与其转置行列式相等, 行列式也可以用其第1列的数值与其代数余子式展开。 性质1 行列式D与其转置行列式DT相等. 再证明： 采用归纳法证明.还以4阶行列式说明之。 当n=1时， 当n=2时， 归纳假设，对于阶数不超过3的行列式，结论成立。 对于4阶行列式 性质2 行列式对任一行(或列)按下式展开,其值相等,即 证明： 采用归纳法证明.仅就n=4，i=3时举例说明 当n=2时， 归纳假设，对于阶数不超过3的行列式D，结论成立. 对于n阶行列式 设i=3, 性质3（线性性质） 利用性质2即可证明。 推论1 若行列式有一行元素全为零，则行列式的值等于零。 (相当于第1式中k=0). 性质4 若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0 证明： 用归纳法证明： 显然,行列式阶n=2 时命题 成立. 设命题对 n -1 阶行列式成立， 对第 i, j 行相同的 n 阶行列式D， 将第 k(k?i, j)行展开,得 推论2 若行列式中两行元素成比例，则行列式的值为0 性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换), 则行列式的值不变。 利用性质3 和推论2,即可证明。 *