第12.1节 差分与差分方程的概念.ppt

第12章 差分方程 摾肷? 连续敱浠唬且恢滞ü啾取⒂成涞确椒ǎ迪謸离散化斘侍庥霌连续化斘侍獾南嗷プ佣媚忱辔侍獾慕饩龌竦昧硪焕辔侍饨饩龅乃枷敕椒ǎ嫠呶颐谴?问题时换一个角度去思考，也不失为一种良策． 第12.1节 差分与差分方程的概念 一、差分的概念与性质 二、差分方程的基本概念 三、常系数线性差分方程及其解的结构 一、差分的概念与性质 对于连续变量，可以用导数刻画其变化率，但是在许多 应用问题中，函数是否可导，甚至是否连续都不清楚，或函 数根本就不可导，而只知道函数在某些时刻的函数值，这时 自变量与因变量都是离散变化的. 因此，我们利用函数的差 商代替导数来刻画函数的变化率. 在许多情况下，时间的最 小变化单位为1，即使不等于1，也可以通过适当的变换将时 间的改变量化为单位1,即 ,故我们用 就可以近似地表示变量关于时间的变化率． 例1 某家庭在国庆节期间自己驾车外出旅游，每隔 1小时 通过里程表记录下车辆行驶的里程数St，其数据如下表1所 示. 表1 出发后经过t 小时车辆里程表显示的里程数 如果用△St 表示在第t小时内车辆行驶的路程，则有 表2 出发后在t 小时内车辆行驶的里程数 具体数据如表2所示： t (小时） 0 1 2 3 4 5 6 St (小时） 22 300 22 322 22 354 22 403 22 452 22 481 22 513 t (小时） 1 2 3 4 5 6 △St (小时） 22 32 49 49 29 32 为了研究的方便起见，将函数变量在单位时间内的增量， 定义1 对于函数 ，当其自变量t 取离散等间隔的整数值 称为函数在时刻的一阶差分.记作 引入一个新的概念棗差分. 时，相邻两时刻函数值的差 几何意义：由差分的定义知， 函数 在t 时刻的一阶差分 表示经过点(t, yt)与(t+1,yt+1)的直线的斜率 （如图所示）． 经济意义：对经济变量 ,其一阶差分 表示该经济变量当期较上期函数值的增量． 定义2 一阶差分 的差分称为函数 在时刻 t 的二阶差分，即 依此类推，二阶差分的差分称为三阶差分,即 其中 二阶或二阶以上的差分统称为高阶差分. 一般地，函数 在t 时刻的k-1阶差分的差分称为k 阶差分（k为整数），记作 性质1 （C为常数）. 性质2 一般地，有 性质3 特别地，当 (C为常数）时，有 ． ． 利用差分的定义可证明，差分具有与微分相似的四则运算 法则： 一般地，有 性质4 证 根据一阶差分的定义，有 例2 求下列函数的一阶差分 (1) (2) 解 (1) (2) 由此可知，指数函数的差分等于指数函数与某常数的乘积. 例3 求 解 设 ，则 注 能否从本例总结出幂函数，乃至n次多项式差分的性质？ 二、差分方程的基本概念 定义4 含有自变量及未知函数的两个或两个以上的函数值 、 、 的方程称为差分方程方程中未知函 数 的下标的最大下标与最小下标的差称为该差分方程的阶． (3) n 阶差分方程的一般形式又可表示为 例如，对于差分方程 ，写成定义3的形式为三阶差分方程；而如果按定义4形式表示，方程变形为 则此方程却为二阶差分方程．因此用上述两种不同形式表示的 同一差分方程，其阶有时是不同的． 定义5 如果将某个函数代入差分方程能使方程成为恒等式，则