第1节 n阶行列式的定义.ppt

线性代数 第一章 行列式 内容提要 §1 n阶行列式的定义 §2 行列式的性质 §3 行列式按行(列)展开 §4 克拉默法则 §1 n阶行列式的定义 一、二阶与三阶行列式 2.三阶行列式 二、排列与逆序 三、n阶行列式的定义 定义 由 个元素 排成n行、n列构成的记号： 规律 例如 所表示的代数和中有4！=24项。 行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为1234，元素取自不同列，且逆序数 ,即元素乘积 前面应冠以正号，所以 为D的一项。 行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为4312，元素取自不同列，且逆序数 ,即排列4312为奇排列，所以元素乘积 前面应冠以负号，所以 为D的一项。 有两个元素取自第四列，所以它不是D的一项。 定理3 n阶行列式也可以定义为 * * * * 行列式是一个重要的工具，它在数学的各个领域及其它各学科都有着广泛的应用 ● 二阶与三阶行列式 ● 排列与逆序 ● n阶行列式的定义 二元线性方程组 由消元法，得 当 时，该方程组有唯一解 1.二阶行列式 求解公式为 二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得. 其求解公式为 二元线性方程组 我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”. 记号 数表 表达式 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即 其中， 称为元素. i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列. 二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式) 则上述二元线性方程组的解可表示为 定义 对于有9个元素 排成3行3列的式子 记 称为三阶行列式. 主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则并不适用！ 三阶行列式的计算 ——对角线法则 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号. 例1 计算行列式 解 按对角线法则，有 方程左端 解 由 得 例2 求解方程 定义 由正整数 组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为 。 例如 4231 653412 1523 是一个4级排列 是一个6级排列 不是一个排列 n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 在一个n级排列 中，如果数 ， 则称数 与 构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序 的总数称为该排列的逆序数，记为 例如 在排列32514中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序. 计算排列的逆序数的方法 则此排列的逆序数为 设 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ； 再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; …… 最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; 例1： 求排列 32514 的逆序数. 解： 练习： 求排列 453162 的逆序数. 解： 因为3排在首位，故其逆序的个数为0； 在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1； 在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0； 在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3； 在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。 易见所求排列的逆序数为 定义 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 定义 把一个排列 中某两个数 ， 的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列 ，这样的变换称为一个对换，记为 。 将两个相邻元素对换，称为相邻对换 定理1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。 即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。 证明： 第一种情形。 先看相邻对换的情况 设排列为