第1讲 因动点产生的相似三角形问题.doc

第1讲 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)． （1）求k与m的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标． 图1 思路点拨 1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△ABC的面积，一般用割补法． 3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程． 满分解答 （1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)． 将点A(2, 4)代入，得k＝8． （2）将点B(n, 2)，代入，得n＝4． 所以点B的坐标为(4, 2)． 设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点C的坐标为(0,－2)． 由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4． 所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°． 图2 所以S△ABC＝＝＝8． （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝，AC＝． 由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE． 所以△ACE与△ACD相似，分两种情况： ①如图3，当时． 此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当时．解得．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)． 图3 图4 考点伸展 第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴． 由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8． 图5 例2 武汉市中考第24题 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 图1 图2 思路点拨 1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程． 2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ． 3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然． 满分解答 （1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况： ① 如果，那么．解得t＝1． ② 如果，那么．解得． 图3 图4 （2）作PD⊥BC，垂足为D． 在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t． 当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP． 所以，即．解得． 图5 图6 （3）如图6，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E． 由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点． 又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF． 因此F是BC的中点，E是AB的中点． 所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上． 考点伸展 本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值． 如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，． 如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1． 如图9，当⊙H与AC相切时，直径， 半径等于FC＝4．所以． 解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）． 图7 图 8 图9 图10 例3 苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是