第2章 插值法-1.ppt

第 2 章 插 值 法 2.2 拉格朗日插值 2.2.2 拉格朗日插值多项式 2.2.3 插值余项与误差估计 2.3 均差与牛顿插值公式 2.3.3 牛顿插值公式 利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分为 二阶中心差分为 其中 除了已引入的差分算子外，常用算子符号还有不变算 子 及移位算子 ， 于是，由 定义如下： 可得 算子 同理可得 2、差分的计算（以前差为例） ——列差分表 例： 解： 3 5 7 9 2 2 2 0 0 0 3、差分的性质 ——归纳法证明 性质1 其中 为二项式展开系数. 各阶差分均可用函数值表示. （3.9） 由 性质2 所以 （3.10） 可用各阶差分表示函数值. 因为 性质3 均差与差分的关系. 由定义 一般地有 （3.11） 同理，对向后差分有 利用（3.11）及均差与导数的关系又可得到 其中 性质4 差分与导数的关系. 将Newton插值公式中各阶差商用相应差分代替，可 得各种形式的等距节点插值多项式，以下介绍常用Newton 前插与后插公式。 记节点 则 二、等距节点插值公式 由Newton插值公式： ——Newton前插公式 上述公式中用差分代替差商 插值余项 其中 例： 解： 求二次牛顿前插公式 取差分表第一行数据，得Newton前插公式： 例： 解： 3 5 7 9 2 2 2 0 0 0 取差分表第一行数据，得Newton前插公式： ? 牛顿向后插值公式 当插值点 位于插值区间左端点 附近时 令 将节点顺序倒置： 上述公式中用差分代替差商 称之为牛顿向后插值公式 注：一般当 x 靠近 x0 时用前插公式，靠近 xn 时用后插公式，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。 插值余项 注：若插值点位于节点中部，则可利用中心差分构造 Stirling插值、Bessel插值等； ——用于高精度要求的函数插值，现已少用！ 其中 为使用牛顿插值公式，先构造差分表（表2-4）. 给出 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 及 例5 的近似值并估计误差. 解 根据题意，插值条件为 由于 接近 ，所以应用牛顿向前插值公式计算 的近似值. (注意：表中带下划线的数据为 点的各阶向前差分，双下划线为 点的各阶向后差分 .) 取 则 用表2-4上半部的各阶向前差分，得 由余项公式得误差估计 其中 于是 计算 应使用牛顿向后插值公式， 用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得 这里 其中 由余项公式（4.13）得误差估计 由题意, 取 用线性插值计算， 的值并估计截断误差. 例2 已知 用线性插值及抛物插值计算 解 取 由公式（2.1） 由（2.17）,其截断误差 其中 于是 用抛物插值计算，由公式（2.5）得 截断误差限 其中 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了. Lagrange插值多项式的缺点： ②基函数计算复杂；且已得的 无用，需重新算过； 对于计算 ③高次插值精度未必高；——Runge现象 比较n-1次及n次插值多项式 若非常接近，则以n次插值 否则增加节点计算 通常方法：实用后验估计 ①不知道选择多少个插值节点为宜； 2.3.1 插值多项式的逐次生成 一、基本思想 缺点：增加节点时，需要计算 ，而已得的 不能被利用,必须重新计算 为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化 已知n+1个互异插值节点 由插值多项式的存在唯一性，可以构造Lagrange插值多项式： 期望： 的计算只需要对 作一个简单的修正. （3.1） 其中 为待定系数， 确定 . 为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于 计算的形式 可由 个插值条件 当 时， 依此递推可得到 . 当 时， 推得 推得 由 ， 由 当 时，