2线性分组码的生成矩阵已知.pptVIP

信息论 电子信息工程学院 *  3 线性分组码 线性分组码是指分组码中信息元和校验元是用线性方程联系起来的一种差错控制码。 线性分组码是纠错码中最重要的一类码，是研究纠错码的基础。 * 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信息码组变换成 n 长 (nk) 码字，其中 (n－k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 信息码组长为 k 位，若有 2k 个不同的信息码组，则有 2k 个码字与它们一一对应。 一个 n 长的码字可以用矢量来表示C = (Cn－1 ,Cn－2 ,…,C1 ,C0 ) 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为 (C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0) C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元， 每个码元取“0”或“1” 监督元可按下面方程组计算 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 一致校验方程： 按规则通过已知的信息元得到校验元的一组方程称为校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致校验方程。 由于校验方程是线性的，即校验元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性校验方程所确定的分组码是线性分组码。 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 若已知信息码组为 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 代入 方程(9.1) 得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它7个码字如表。 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 为了运算方便，将式(9.1)监督方程写成矩阵形式，得 式(9.2)可写成 H? CT=0T或 C? HT=0 CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r (=n-k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * 令上式的系数矩阵为 H，码字矩阵（行阵列）为 C 1.线性分组码的一致校验矩阵 9.3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * H 阵的每一行都代表一个监督方程，即 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 3 线性分组码 行变换监督矩阵H 为标准形式： 即后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵H。 对H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，于是得到下面矩阵： * H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。 例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和，依此类推。 1.线性分组码的一致校验矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * (1) 线性码的封闭性 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 定理：设二元线性分组码 CI (CI表示码字集合) 是由监督矩阵H所定义的，若 U 和 V 为其中的任意两个码字，则 U+V 也是 C I 中的一个码字。 [证明]：由于 U 和 V 是码 CI 中的两个码字，故有UT=0T，HVT=0T 那么 H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是码字集合CI中的一个码字。 2 线性分组码的生成矩阵 3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 3 线性分组码 * (2) 生成矩阵的由来： 在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中，一定存在 k 个线性独立的码字：g1,g2,…, gk 。 2 线性分组码的生成矩阵 码字集合CI 中，其它任何码字C都可以用这 k 个码字的某种线性组合来表示，即 3 线性分组码 * G 中每一行 gi = ( gi 1, gi 2, … , gi n ) 都是一个码字；