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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 复习： 共线向量定理。 平面向量基本定理： 空间向量基本定理： 例题： * * 。 ＝ ，使 充要条件是存在实数 的 ）， （ 、 对空间任意两个向量 b b a b b a l l a // 0 1 共面向量定理。 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。 O C B P/ A/ A P B/ 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p| p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量。 例题分析 已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用基向量 表示向量 OA OB OP OC P N M C B A O OQ Q G N M C B A O 空间直角坐标系 １、单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为１，则这个基底叫做单位正交基底．常用{i,j,k}来表示． i j k ２、空间直角坐标系 在空间选定一点Ｏ和一个单位正交基底{i,j,k} ， 以点Ｏ为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建 立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。 这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏ-xyz， 点Ｏ叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面 Ｏ i j x y k z 3、向量在空间直角坐标系中的坐标 空间中相等的向量其坐标是相同的． 在给定一个空间直角坐标系和向量 中，设 为坐标向量，则存在唯一的有序数组 使得 ，有序数组 叫做向量 在空间直角坐标系中的坐标，记作： Ｏ i j x y k a z Ａ(x,y,z) 4、点在空间直角坐标系中的坐标 Ｏ i j x y k a z Ａ(x,y,z) 在单位正交基底i、j、k中与向量 实数组 中的坐标，记做 z叫做点A的竖坐标． 对应的有序 ，叫做点A在此空间直角坐标系 ，其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点B的纵坐标， 空间任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面，分别交坐标轴于A、B、C三点，｜x｜＝OA，｜y｜＝OB， ｜z｜＝OC，当 与i方向相 ，反 ．同理 之 可确定y、z． 同时 AQ。 （4） AN； （3） AM； （2） AP （1） c b a 1， : 4 QA CQ CA Q D C N CD M CA P c AA b AD a AB D C B A ABCD ； ｝表示以下向量： ， ， 用基底｛ ＝ ： 上，且 在 的中点，点 是 点， 的中 是 的中点， 是 ， ＝ ， ＝ ， ＝ 中， － 如图，在平行六面体 B C D A A C D B Q N M P