3–3平面向量的内积§.docVIP

§ 3 – 3 平面向量的內積 § 甲.向量內積： 向量內積： 向量的夾角：對於兩個非零向量和﹐我們可以將它們平移﹐使其始點重合﹐此時它們的夾角（ ：將兩個向量起點放在一起所張的角 ）稱為向量與的夾角 2. 設為兩個非零向量，θ為之夾角，則定義之內積為 ，記為 (即 = )，唸成 說明： 在物理中：功 (W) = 施力 ×施力方向的位移 1.(1) 功 = × (2) 功 = × (3) 功 = × (4) 向量內積的性質： (1) = ( 交換律 ) (2) = ( 分配律 ) 說明： (3) ( ∵ == ) (4) = (內積與長度的互換) (5) ( 向量內積符合乘法公式 ) P.S.(1) 向量內積後為一個 (2) 向量內積不滿足 結合律 (即) 說明： 已知 例1.若正△ABC的邊長為10公分，求(1) (2) 例2. △ABC中，，求(1) (2) 例3.設 = 4， = 7，且已知和夾角為45°，求之值 例4.設都不是零向量，其夾角為45°，且，求實數t使得. 例5.設，且，試求(1) (2)的夾角. 例6.一公路依地形迂迴而建，如圖所示.從A地到B地、B地到C地、C地到D地、距離分別是、11、6公里.而AB與BC、BC與CD間兩公路的夾角分別為90°、120°.試求A地與D地的直線距離. 乙.向量內積坐標表示法： 向量內積坐標表示法： 已知，，的夾角為θ，其中 ，則： 1. = = 2. = = 3. 說明： 例7.設 ，求(1) 、、 (2)若的夾角為θ，求cosθ 例8.設，求(1) (2) (3) (4) 例9.設，若，則： = ； = . 例10.設 = (2,5)，且，且，求的座標表示法. 例11. ，試求一實數t使得有最小值. 乙.向量坐標化的應用： 向量內積座標化之應用(二)：兩直線之夾角 1.法向量：設不是零向量，且的方向與直線L垂直，則稱為直線L的一個 (P.S.每一直線的法向量不唯一) 2.若直線L：ax + by + c = 0，則L的方向向量為 ，法向量為 說明： L：ax + by + c = 0，則在L上任取兩點P( ) ，Q( )， ∴L的方向向量為 ；亦可為 我們可以找到直線L的一個法向量為 3.已知直線L1：a1x + b1y + c1 = 0，L2：a2x + b2y + c2 = 0，則L1的法向量為 ，L2的法向量為 ；則我們可以發現(1)L1、L2的夾角應有 個，當一個為θ時，另一個為 (2)兩直線的夾角有一個會等於其 的夾角 說明： 4.如何求L1、L2的夾角：利用法向量 = ， = = ∴ cosθ = 例12.直線﹐下列哪些向量可為的法向量？(1) (2) (3)　(4) (5) 例13.已知L1：x + 2y – 3 = 0, L2：x – 3y + 4 = 0，求L1與L2的夾角 例14.設直線L過點(0,-1)且與直線 3x+ 4y = 5的夾角為45°，求L的直線方程式. 向量內積座標化之應用(四)：點到直線的距離 平面上點到直線的距離： 設點P(x0,y0)，直線L：ax +