8.4边界条件的复变函数表示.docVIP

§8. 4 边界条件的复变函数表示 学习思路： ??? 边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M 表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M 函数表达。 ??? 在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。 ??? 用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。 学习要点： ??? 1. ； ??? 2. AB的面力边界条件： ??? 3. K-M 函数的关系：? ??? 4. ： 思考题： ??? 1.根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M 函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M 函数将不再是单值的。 对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为 ??? 将复变函数表示的代入上式，则 设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），。 则由几何关系 ??? 将上式代入 ，可得 ??? 将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+ iFsy，则 ??? 将 代入上式，可得 即?????????????????????? 的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量 ??? 由于在K-M 函数和?(z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M 函数，使上式的常数为零。则 ??? 上述公式表示了边界面力矢量与K-M 函数和?(z)之间的关系。 ??? 显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标 z 从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。 如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用可以得到 对上式作分部积分，可得 注意到??????? 和????????????????????? 回代可得 ??? 公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。公式的右边为K-M 函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。 下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为 u=u,??? v=v 则根据位移边界条件，有 上式即为K-M 函数表示的位移边界条件。??? 到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数 和?(z) 的问题。 φf(z)和?(z)的一般表达式 学习思路： ??? 本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M 函数的单值性。 ??? 单连域中的单值解析函数和?(z)在多连域可能不再是单值的。因此K-M 函数和?(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M 函数和?(z)在多连域中的可能形式。 ??? 首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M 函数和?(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M 函数和?(z)的形式。然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M 函数形式。 学习要点 ??? 1. 单连域中的单值解析函数和?(z) ； ??? 2. ； ??? 3. ； 4. K-M 函数形式： 对于弹性力学的应力解法，若K-M 函数和?(z)满足公式，即 ??? 则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，和?(z)均为单值解析函数。根据边界条件，问题就可以求解。??? 但是对于多连域问题中，K-M 函数和?(z)可能表现为多值函数，尽管它们在单连域中是单值连续的解析函数。 对于多连域弹性体S，具有m个内边界和一个外边界，而分别为内边界中的点，。 那么如何选择这些K-M 函数，才能保证应力分量和位移分量的单值连续条件呢。这里的原则是保证应力和位移分量的单值性，分别根据应力分量的单值条件，构造可能的K-M 函数和?(z)的形式，然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。 由于应力分量必须是单值的，而应力分量与 K-M 函数的关系，有 所以的实部，即Re必须是单值的。 ??? 假如函数环绕多连域内部任意一个内边界lk 绕行一周时，如果多值，只能是虚部多值。根据其多值部分只能是一个虚常数增量。为方便进一步分析，令此虚数增量为2?iAk，其中Ak为实常数。 ??? 根据复变函数性质，若复变函数绕lk 一周，如果有增量，其只能是对数函数产生的。因此设由两部分组成，一部分是在S内单值解析的；另一部分是Ak ln (z-zk)，则其绕lk 一周有增量2?iAk。有 ??