9点共线与线共点.docVIP

§9 点共线与线共点 一、点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等.n(n≥4)点共线可转化为三点共线. 例1、如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG.又作平行四边形CFHD，CGKE.求证：H，C，K三点共线. 证：连AK，DG，HB. 由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG.同样可证AKHB.四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分.而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线. 例2、如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F.求证：D，E，F三点共线. 证：如图，连AC，DF，DE. 因为M在O上， 则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB， 有△AMC∽△ACF，得 . 又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得 . 所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE. 所以∠ADE=∠DFB.因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线. 例3、四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q.由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线. 证：如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连CM，PF.设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G.易如 QE2=QM·QP=QC·QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ. 从而C，D，Q，M四点共圆，于是 PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得 PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， 即PQ2=QC·QB+PC·PD. 易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有 PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2， 即PE’·PF=PQ2-QF2.又 PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF) =PF·(PG－GF)， 从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合. 所以P，E，F三点共线. 例4、以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点.割线PCD交圆O于C，D.又由B作CD的平行线交圆O于E.若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线. 证：如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF， 延长FC交BE于G. 易如OA丄AP，OB丄BP， OF丄CP，所以P，A，F，O，B 五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB= ∠PFB. 又因CD∥BE，所以有 ∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB， 而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF， 所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线. 二、证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明. 例5、以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG. △ABC的高为AH.求证：AH，BF，CD交于一点。 证：如图。延长HA到M， 使AM=BC.连CM，BM. 设CM与BF交于点K. 在△ACM和△BCF中，AC=CF，AM=BC， ∠MAC+∠HAC=180°， ∠HAC+∠HCA=90°， 并且∠BCF=90°+∠HCA， 因此∠BCF+∠HAC=180° ∠MAC=∠BCF. 从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB. 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°， 即 BF丄MC. 同理CD丄MB.AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点. 例6、设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC.又设D，E分别是△APB及△APC的内心.证明：AP，BD，CE交于一点. 证：如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T. 连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N. 易知P，R，A，S；P，T，B，R； P，S，C，T分别四点共圆，则 ∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT. 同理，∠APC－∠ABC=∠RST， 由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST. 又RT=PBsinB，ST=PCsinC， 所以PBsinB=PCsinC，那么 . 由角平分线定理知 . 故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点. 例7、O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，