Hamilton-Cayley定理的计算应用及幂等变换的性质特征-高等代数.pptVIP

Hamilton-Cayley定理的计算应用及幂等变换的性质特征 集美大学理学院 朱荣坤 2006.3 传统的《高等代数》教材，在介绍完Hamilton-Cayley定理（即：方阵A的特征多项式是A的零化多项式）之后，利用该定理对“线性空间的直和分解”和“最小多项式”理论推导了相关结论，但未涉及它在计算方面的应用。以下简单考虑该定理在矩阵计算方面的两个应用，旨在抛砖引玉。 1.求矩阵大方幂 * 一般地，矩阵大方幂的求法有二：一是寻找规律，利用数学归纳法；二是该矩阵可以对角化，从而转化为对角矩阵的方幂运算。利用Hamilton-cayley定理也不失为一个有效的方法，值得在教学过程中加以介绍。 例 ，求 解：特征多项式 ，由带余除法可设 令 ，得 ；令 ，得 又 是三重根，故有 ，得 最后有 利用 定理即得： 2.求逆矩阵 例 可逆矩阵 的逆矩阵 与伴随矩阵 都可表示为 的多项式 利用 证 设特征多项式 定理， 则有 而 可逆，得 从而 以及 证毕。 [利用该结论即可做具体的求逆计算] 幂等变换是一类较为常见的线性变换，它有着良好的性质特征，并且涉及了线性变换的诸多内容，对训练学生融会贯通“线性变换”知识点有较好的作用。以下对幂等变换的良好性质作归纳整理，供教学上参考。 A 3.值域A ＝对应于特征值1的特征子空间 核A－1（0）=对应于特征值0的特征子空间＝ 4. ＝A A－1（0），且A是平行于核在值域上的投影； [考虑 A +(E-A) 易证] 5. 值域A 与核A－1（0）对 的线性变换B不变的充要条件是A,B可 交换； 6. E+A 为可逆变换； [逆为E-A/2] 7. 秩（A）＋秩（E-A）＝ ； [A－1（0）＝ A =（E-A） ,已知A 与A－1（0） 的维数和＝ ] 8. A必可对角化,且关于 某个基的矩阵为 设A是 维线性空间 的幂等变换(A2=A)，则有以下结论： 1.A的特征值只能是1或0； 2.A只有特征值0当且仅当A是零变换； *