lt99224二项式定理.docVIP

2-4二項式定理 國中時學過二項和的平方公式 ﹒ 由的公式可以推導出二項和的立方展開式﹐過程如下： ﹒ 由此﹐可以再逐步推導出二項和的4次方﹑5次方的展開式﹒那麼一般化的二項和之n次方﹐它的展開式是什麼樣子呢？是否有一般的公式呢？這就是本節的重點﹒ 甲、二項式定理 首先我們對展開式 作進一步的觀察﹐事實上是連乘三次﹐即所產生的式子﹒將展開但不加以整理﹐得到的項相當於在每一個括號中﹐各選一個或作乘積﹐得到如下的8項和： 因為乘法可以交換﹐所以可以整理成四種類型的項﹐將同類項蒐集在一起﹐得 ▲圖2 集項示意圖 從這種集項的歸類方式﹐我們得到展開式 括號1括號2括號3 =﹐ 而且還知道： ??? 的係數為?（在?個括號中﹐都選沒有選﹐有種選法）﹒ ??? 的係數為?（在?個括號中﹐兩個選一個選﹐有種選法）﹒ ??? 的係數為?（在?個括號中﹐一個選兩個選﹐有種選法）﹒ ??? 的係數為?（在?個括號中﹐沒有選都選﹐有種選法）﹒ 也就是說﹐的展開式可以寫成 ﹒ 的展開式﹒因為是指連乘n次﹐即 =﹒ 由前面的討論﹐可類推得到的展開式會含有 共計種類型的項﹐而且的係數是根據上述n個括號中﹐個選﹐個選集項而成的﹐一共會有 種選法﹐也就是說﹐的係數就是（其中與分別表示與）﹒ 利用上述求出展開式中每項係數的方法﹐可以得到的展開式﹐稱為二項式定理﹒ 二項式定理：對於任意正整數n﹐我們有下列的二項展開式：﹒ 【例題1】寫出的展開式﹒ 【詳解】利用二項式定理﹐得= ﹒ 【隨堂練習1】寫出的展開式﹒ 【詳解】利用二項式定理﹐得﹒ 【例題2】寫出的展開式﹒ 【詳解】將看成一項﹐看成一項﹐利用二項式定理﹐得﹒ 【隨堂練習2】寫出的展開式﹒ 【詳解】可將看成一項﹐看成一項﹐利用二項式定理得 ﹒ 利用二項式定理﹐可以求得展開式中單項的係數﹐舉例如下： 【例題3】求展開式中的係數﹒ Ans：280 【詳解】由二項式定理得知﹐展開式中的每一項皆形如 ﹐且其次數為﹒當﹐即時﹐得出項為 ==280﹒故的係數為280﹒ 【隨堂練習3】求展開式中的係數﹒ Ans：720 【詳解】利用二項式定理展開﹐得每一項皆形如且其次數為﹒當即時﹐得項為﹐故的係數為720﹒ 【例題4】求展開式中的係數﹒ Ans：160 【詳解】由二項式定理得知﹐展開式中的每一項皆形如 ﹐且其次數為﹒當﹐即時﹐得出項為 ==160﹒故的係數為160﹒ 【隨堂練習4】求展開式中的常數項﹒ Ans：60 【詳解】利用二項式定理展開﹐得每一項皆形如 當即時﹐得常數項為 ﹒故常數項為60﹒ 【例題5】求多項式的項係數﹒ Ans：(330 【詳解】因為是首項﹐公比的等比級數﹐所以利用等比級數的求和公式﹐得 ﹐即的項係數就是的項係數﹒再由二項式定理﹐得知的項為 ﹐即的項為﹒故的項係數為﹒ 【隨堂練習5】求多項式的項係數﹒ Ans：330 【詳解】因為是首項1﹐公比的等比級數﹐所以利用等比級數的求和公式﹐得﹐即的項係數就是的項係數﹒再由二項式定理﹐得知的項為﹐則的項為﹒故的項係數為330﹒ 二項式定理除了可以求得展開式及單項係數外﹐還可以利用它得到一些含有組合符號的恆等式﹒ 【例題6】設n為正整數﹐證明﹕﹒ 【證明】將的展開式 =中的與都用1代入﹐得 ﹐即 ﹒故得證﹒ 【隨堂練習6】設n為正整數﹐證明﹒ 【證明】將的展開式中的與都用1代入﹐得 ﹐即 ﹒故得證﹒ 乙、巴斯卡三角形 巴斯卡(Blaise Pascal﹐法﹐1623~1662)發表巴斯卡三角形的相關文章﹐使當時的歐洲對於二項展開式有更多的體認﹒ 對於下列二項展開式 ; =; ; ; ; =﹒ 如果只列出係數﹐就得到二項係數的巴斯卡三角形﹐如圖3(a)所示﹒這個三角形的邊緣都是1﹐而內部的數都是它的左上方和右上方二數的和﹐此即圖3(b)的巴斯卡定理的具體表示法﹒圖3(a)及圖3(b)中的紅色數字就是它們的一種對應關係： 與﹒ ▲圖3(a) ▲圖3(b) 事實上﹐早在西元1261年（宋理宗 景定二年）﹐宋朝數學家楊輝在詳解九章算法一書中﹐便有附載類似於上圖3之「開方作法本源」圖﹐演至五乘方；西元1303年（元成宗 大德七年）﹐元朝數學家朱世傑在四元玉鑑一書中﹐亦附載有被稱為「古法