Noether环上的余平坦Precover-维普.PDFVIP

维普资讯 烟 台师范学院学报 (自然科学版) YantaiNormalUniversityJournal(NaturalScience) 2OO3，19(1)：l4一 l6 Noether环上的余平坦 Precover 和强 Precover · 赖 弋 新 (青岛大学师范学院数学系，山东 青岛 266071) 摘要 ：给出了余平坦模 的Precover和强Precover的概念 ，并给出相关的性质． 关键词 ：模 ；范畴；余平坦模 中图分类号：0153．3 文献标识码 ：A 文章编号 ：1004—4930(2003)01—0014—03 本文所指环 R是有单位元的结合环，若无特殊说明，模均指右 尺_模． 定义 1 设 M 是 R_模，C是余平坦 R一模 ，C及R_同态 ：C— M 称为M 的余平坦 Precover，如果对任意的余平坦模 C『及 R_同态 ： — ，都有R_同态 ／’：C『一 C，使 一 ． 定义 2 设 M 是R 模 ，C及 尺_同态 ：C— M称为M 的余平坦Cover，如果使得 ： 的同态 ：C—C只能是C的 自同构． 定理 1 如果 R是Noether环，则每一 R_模都有余平坦Vrecover． 证明 由于 R是Noether环 ，故存在余平坦模集 X，使任意余平坦模是 的直和， C C 此处，‘ 与X中某一余平坦模同构，因而对任意C∈X， ／ I ／I 若有图1可换(其中F是余平坦模)，则F是M的余平坦 ， ／ I ，／ I Precover，令C =CHm‘nR ”，这里c“’表示直和0 ，作 F—— C— 一 M 映射 ：C 一M ，(z)一 z)，则 由C 的构造知 有 图 1 、 图2 意义 ，且对任意 C—M ，存在 厂∈Horn(C，C )，使 图2 可换 ，故M 有余平坦Precover． 推论 1 如果 R是 Noether环，则每一右模M 都有余平坦Cover． 2 余平坦强Precover 定义 3 设M 是右R_模，称 M 的余平坦 Precover(Cover)：C— M 是 M 的余平坦 强 Precover(Cover)，如果 是满射 (其中C是余平坦模)． 定理 2 设 R是Noether环，若模M 有余平坦强 Precover，则M 有余平坦 Cover． 收稿 日期 ：2002—06—2O 作者简介：赖弋新 (1965一)，男 ．副教授．硕士，从事环论、模论等方面的研究． 维普资讯 第 l期 赖弋新 ：Noether环上的余平坦 Precover和强Precover 证明 设 ：C— M 是M 的余平坦强Precover，因为R是Noether环，由推论 1知，M 有余平坦Cover，设其为 ：G—M ，所 以有R同态f：C—G，使 一 ，因为 满 ，故 是 满的．即 ：G— M 是M 的余平坦强Precover． 定理 3 设R是Noether环，M 是 模 ，则下述等价 ：(1)M 有余平坦强Precover， (2)M 有余平坦强Cover，(3)M 是某余平坦模的商模． 证 明 (1) (2)即为定理 2． (2) (3)．因为M 有余平坦强Cover，故对任意余平坦模C，及 同态 ：C 一『M ，都 有R一同态 厂：c 一 c，使 一 ，且 为满的，所以M 与C／Ker~同构，即M 是余平坦模 C 的商模 ． (3) (1)．因为R是Noether环，故 由定理 1，M 有Precover C— ，设G是余平坦 模