中国科学院学2014秋季学期微积分II-A01习题1+2-LSEC.PDFVIP

中国科学院⼤学2014 秋季学期微积分II-A01 习题1+2 课程教师：袁亚湘 助教：刘歆 2015 年3 ⽉ 14 ⽇，8:00-9:40 作业 1. 证明 ∑ 是 中的范数。 作业2. 对任何 和 , 证明 是 中的开集。 作业3. 对任意 , 证明 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩. 作业4. 对任意 , 证明 . 作业5. 证明De Morgen 对偶原理. 作业6. 证明: a) 任⼀集合 的闭包 是 中的闭集. b) 任⼀集合 的边界点的集合 是 中的闭集. c) 如果 是 中的开集, 是 中的闭集, 则 是 中的开集. 作业7. 证明 的闭包是包含 的最小闭集. 作业8. 设 为 中非空的有界开集. 求证: 必可表示为⾄多可数个互相不相交的开区间. 作业9. 在 中, { }. 求int , ext 和bd . 作业 10. 证明: (a) 任意多个紧集的交集是紧集; (b) 优先多个紧集的并集是紧集. 作业 11. 设 , 量 inf 称为集合 与 之间的距离. 举例说明, 在 中存在没有公共点的闭集 使得 . 作业 12. 设 是 中的非空闭集, 满⾜ ( ). 问: 是否⼀定存在 对⼀切 都成立. ∑ 作业 13. 设 是 中的点列, 并且级数 收敛. 求证: 收敛. 1 2 当堂小测验1 测验 1. 假设 ( ), 并且 lim , lim , 证明: lim ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 测验 2.