中学代数研究第四章.ppt

* 这个时候学生需要抽象地思考，超出函数的具体表达式的限制，把“对应法则”作为函数概念的核心。 这就是要求从变量说过渡到对应说。 进入高中阶段，要求用两个数集之间对应的方式来阐述函数的意义。 “对因说”在处理复合函数与反函数问题上，由于使用集合语言，在表示上比“变量说”方便并且自然。 对因说的函数概念，可以形象化的解释为一架加工机。他把自变量加工成因变量。 * 在引入函数概念之前，需要完成从常量到变量的转变。字母除了表示定数以外，还可以表示变化的量。 如何引导学生把静态的表示式看成动态的过程，是函数降雪的关键。 学习函数概念，要实现由静到动的转变。 小学高年级学生都会计算具体的数学问题，初中生和能写出某些变量之间的表示式，但是他们还不能看到变量之间的变化过程。 “照片”，“录像”。 * 这就是说，哪一个算式和运动联系起来并不容易。 实际教学中，可以把定数表示为数轴上的一个定点，而把变量看成是一个动点。 在此之前，学生的经验只涉及常量的运算。字母和符号在他们的认知结构中知识代表一个特定的具体数量。 并在坐标系上描出这些点，致使学生容易感受到变量的真实意义。 先确定自变量数轴上的取值范围，在取自变量的一系列特定值，列出相应的另一个变量的对应值， * 函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机的整合。 二、弄清函数与代数式、方程的关系 2.函数是一个二元方程y-f(x) = 0。它有无穷多个解。运用方程方法，可以寻求函数的特殊值。 1.任何代数式A(x)可以看作带有变量x的函数的代数表达式：y=A(x), 求代数式的值就是求这个代数函数的函数值。 * 4.在坐标平面上，二元方程 F(x,y) = 0 的图像是一条曲线。曲线也可以表示为一个方程。 3.函数的不动点，是指满足 f(x) = x 的点x，这相当于解方程 f(x) – x = 0。 弄清这些数学概念之间的联系，是中学里一项重要的学习内容。 函数 y = f(x) 的图像也是一条曲线，不过这种曲线和平行于y轴的直线只交于一点。 * 数学科学的基本任务之一是研究“数量关系”。已知数和未知数之间的等式关系是方程，变量和变量之间的依赖关系则是函数。 研究函数的依赖关系要使用两个变量。在学习心理上，这要求学生在同时使用两个表象，因而有一定的 难度。 三、突出“依赖关系”，提倡“函数建模” 一般地说，观察变量之间承载着依赖性比较容易，而要具体写出来就难了。 认识变量之间的依赖关系和具体表示这一关系，属于不同层次的认识水平。 * 教师：“根据Ｑ我们要学习函数的概念，在学习新概念之前，首先让我们思考两个问题： 1. 请同学们想一个你生活中遇到的在某过程中有变化的量，选一个字母表示； 现在研究一个教学案例。P120 （展示题板，给学生两分钟议论时间，然后提问。） 2. 然后再想一想有没有另一个与前一变量有关的也在变化的量，设法把它们的关系用字母表示出来。” * 学生A： “一天的温度是变化的，可以用字母Q表示；另外时间也在变，可以用T表示。关系……我没想好。” 学生B：“吹气球时气球的体积是变的，可以用V来表示；另外吹的时间越长吹得越大，时间是变的，可以用T表示。但是关系不好找。” 学生C：“铅笔每支0.5元，买的数量M和总价P都可是变量，关系是P=0.5M。” …… * 但温度与时间的关系比较复杂，不妨先记为Q=?(T)（这样记有助于将来引入抽象的函数记号）； 因为气球的种类形状很多，想一下子找到V和T的关系确实不容易。他们的关系也不妨记为V=?()； 教师：“这些问题很有趣，买铅笔我们得到了具体的表达式； （在这里教师没有硬去直接讨论体积与时间的关系，而是退一步讨论体积与球半径的关系，处理比较自然，体现了转化的数学思想。） 现在我们把问题简化一下，假若气球是一个圆球， 体积就容易计算了。另外再把球半径R当着另一个变量，这时V和R的关系就可以表示了。” * 教师：“很好！由于时间关系，其他同学的想法就作为课后讨论题吧。 现在，我们大家分析一下以上的问题，不难发现， 在所讨论的过程中，0.5元/支是不变的，也是不变的，是常量。 学生D：“V=4πR3/3” 我们说变量T,R,M是自变量，变量Q,