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2011年全国高中数学第一试填空题(每小题8分，共64分) 中含整点的个数为 。 答案： 解析：位于X轴及X轴上方区域的整点个数为，其中位于X轴上的整点个数为，故总个数为 2、已知彼此相似的三个三角形的周长分别为，且较小的两个三角形可以互不重叠地放入较大的三角形内部，则的最大值为 。 答案： 解析：设三角形的面积依次为， 则，当等腰直角三角形为等腰直角三角形的一个划分时能取到最大值。 3、已知函数满足：，则 。 答案： 解析：在原方程中将用代，所得式与原等式即可解出。 4、已知正方体的棱长为1，点A关于直线、的对称点分别为、，则、两点间的距离等于 。 答案： 解析：先证与的交点M、与的交点N分别是、的第一个三等分点。再用。 5、设均为锐角，并且，则的最小值为 。 答案： 解析：先将分子积化和差得一相等的比例式，再将其运用合分比定理并化简即可求得1，于是利用基本不等式可求最小值。 6、在圆内，过点A恰有条弦的长度成等差数列，如果公差的取值范围为，则的取值集合为 。 答案： 解析：过点A的最长弦、最短弦的长度依次为5、4，记条弦构成的等差数列为，则公差且可取，求得。 7、设表示集合的含有3个元素的所有子集的元素之和，若，则极坐标方程的曲线是 。 答案：双曲线的右支。 解析：先求出，再求得，于是 表示双曲线的右支。 8、设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即 （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。 （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设ab，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4，3 2，1 4，3 2，1 3，2 1 3，2 1 1，2 1，2 1 1 共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。 故。 综上，。 解答题(共56分) 9、（16分），求证： 证明：原不等式 …………………① 由柯西不等式，有 于是，式①成立，即原不等式成立。 10、（20分）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小． 令，由题设，有，且 于是，即． ∴．　　　（※）又，，则． ∴当的值最小时，应有，，且． 即， 由（※）式，得 由于，且，解得， ∴当时，的值最小．11、（20分）在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切（1）求动圆的圆心轨迹方程L（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。 解：（1）由可得 由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有整理得到动圆圆心轨迹方程 。 （2）联立方程组① 和② 消去得 ，由 整理得 ③ 从③可知 。 故令，代入③可得再令，代入上式得 同理可得，。可令代入③可得 ④ 对④进行配方，得 对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 。 所以 仅当时，为完全平方数。于是解得 。 一、（40分）在中，，为内心，的中点为，交于，所对的旁切圆的圆心为.求证：. 证明：如图，设交于点，则 由外角平分线定理，有 . ⑴ 直线截，由梅氏定理， . ⑵ 由内角平分线定理，有 . ⑶ 注意到，由⑵、⑶有 . ⑷ 由内角平分线定理，有 . ⑸ 由⑴、⑷、⑸有 . 故. 二、（40分）设是正实数无穷序列. 证明：对任意正整数N，不等式成立，其中是的算术平均值，即 证明 由，有 （） . . 两边分别求和，得 因此， 由cauchy不等式，得 三、（50分）求所有的正整数对使得是整数． ：若为任意正整数，则显然是原问题的解，下面我们证明原问题没有其他解．若，易知，不妨设为的最小质因子，则 ，又由费马小定理，而，由裴蜀定理存在 正整数，，使． 则，所以，与矛盾．所以没有其他的正整数解．四、（50分）设A、B都是平面上的有限点集，，中无三点共线，. 求证：存在一个三角形，它的顶点全在A中或全在B中，且它的内部不含另一集合中的点。 分析：记符合题中要求的三角形为“好三角形”。 不妨设 先对的情形讨论，设，连接这五点的凸包，针对凸包形状进行分析： （1）凸包为五边形（如图） 若△A1A2A3、△A1A3A4，