关于华罗庚和段学复的一个猜想.PDFVIP

中国科学 A 辑 : 数学 2009 年 第 39 卷 第 3 期 : 294 ∼ 298 关于华罗庚和段学复的一个猜想 张勤海, 曲海鹏 ∗ 山西师范大学数学与计算机科学学院, 临汾 041004 * E-mail: zhangqh@, orcawhale@163.com 收稿 日期: 2008-06-23; 接受 日期: 2008-11-17 国家 自然科学基金 (批准号: 、山西省 自然科学基金 (批准号: 2008012001) 和山西省 回国留学人员 (批准号: [2007]13-56) 资助项 目 摘要 设 G 是有限 p-群, |G| = pn . 对于 0 m n, G 的 pm 阶子群 的个数记为 sm (G). 华罗庚和段学复 曾经猜想: 对于任意的有限 p-群 G, 只要 p 2, sm (G) 模 p3 只可能同余于 1, 1 + p , 1 + p + p2 或 1 + p + 2p2 等 四种情形. 本文对此猜想进行研究, 给 出了此猜想成立 的一些群类及此猜想不成立的一些群类. 关键词 华段猜想 亚循环 p-群 交换 p-群 内交换 p-群 超特殊 p-群 MSC(2000) 主题分类 20D15 1 引言 设 G 是有 限 p-群, |G| = pn . 对于 0 m n, G 的 pm 阶子群 的个数记为 sm (G). Kulakoff 的一个经典结果 [1] 断言: 对于素数 p 2, sm (G) ≡ 1 或 1 + p (mod p2 ). 在这个结 果 的鼓舞下, 1930 年, 华罗庚和段学复在清华大学组织了有限 p-群讨论班, 研究 p-群 G 的子 群个数 sm (G)(mod p3 ) 的可能情形. 他们 的主要结果见文献 [2, 3]. 特别是段学复证 明了下 列定理: 定理 1[2] 设 G 是有限 p-群, p 2, |G| = pn . 令 exp(G) = pn−α . 如果 2α + 1 m n, 则有 sm (G) ≡ 1, 1 + p, 1 + p + p2 或 1 + p + 2p2 (mod p3 ). 段学复曾在 1983 年对徐 明曜说, 当年他和华罗庚猜想: 对于任意的有 限 p-群 G, 只要 p 2, sm (G)(mod p3 ) 只可能同余于 1, 1 +p , 1 +p +p2 或 1 +p + 2p2 等 4 种情形. 徐明曜把 这个猜想写在文献 [4] 中, 见该文第 211 页中的 “问题 1”. 为方便记, 以下简称为华段猜想. 在华罗庚和段学复之后, 继续研究这个问题 的文章不多, 值得提出的有文献 [5, 6]. 值得 提出的有以下结果. 定理 2[6] 设 G 是有限 p-群, p 2, |G| = pn . 若 exp(G) = p , 则对满足 2 m n − 2, 有 sm (G) ≡ 1 + p + 2p2 (mod p3 ). 引用格式: 张勤海, 曲海鹏. 关于华罗庚和段学复的一个猜想. 中国科学 A, 2009, 39(3): 294–298 Zhang Q H, Qu H P. On Hua-Tuans conjecture. Sci China Ser A, 2009, 52(2): 389–393, DOI: 10.1007/s11425-009-0020-z 中国科学 A 辑: 数学 第 39 卷 第 3 期 这说 明, 对于方次数为 p 的群, 华段猜想是成立的. 本文继续对华段猜想进行研究. 首先在第 2 节 四个定理中给出若干关于华段猜想成立的 正面结果, 并在最后 的例子 中说 明, 在一般情形下, 华段猜想是不成立的. 设 G 为有限 p 群, 我们用 cm (G) 表示 G 的 pm 阶循环子群的个数, Ωm (G) 表示所有阶