再谈为什么要学习勒贝格积分.PDFVIP

高等数学研究 Vo1．12，NO．4 8 STUDIES IN C()LLEGE MATHEMATICS Jut．，2009 再谈为什么要学习勒贝格积分 常心·怡 (陕西师范大学数学学院 西安 710062) 摘 要 从积分概念的历史发展与积分理论在数学 中的意义等方面 ，再次阐述完备性的重要意 义，积分与完备性的关系 ．以及勒贝格积分是完备化 的积分这一重要事实． 关键词 勒贝格积分；黎曼积分 ；完备性． 中图分类号 O174．1 最早的积分概念是由牛顿和莱布尼兹在十七世纪引入数学的，它是他们创立 的 “微积分”这个 学科的两大基本运算之一，十九世纪在函数和极限概念严密化的基础上，黎曼给出了严密的积分定 义和函数可积性理论 ，这就是现在数学分析 中学习的积分，区别于其他积分时，称为黎曼积分．当代 数学中，积分概念虽已有许许多多的推广 ，但是作为它们的的基础 ，黎曼积分仍然 占有重要地位 (特 别是在数学以外 的应用和计算方面)． 积分的思想最早来源于求曲边梯形面积的问题．对于给定区间上的任意(有界)函数 ，按照 “作 (积分区间的任意)分划 —— 求 (与分划相应的积分)和—— 取 (当分划无限加细时积分和的)极 限”的步骤，所得到的(极限)数值 (如果存在的话)就是它的积分．在几何上，给定的函数可看作一 条曲线，上面求积分的三个步骤就相当于 (函数非负时)，对于某个区间上以该曲线为顶的曲边梯形 做如下的处理 ：不论此曲边梯形有何特殊性 ，总先用平行于纵轴的直线 ，细分该图形为若干个小 曲 边梯形，而对这些小曲边梯形，又总是用小矩形来近似代替，然后求出，当分划无限加细时，这些小 矩形面积之和的极限．可以想象，这个数值应当就是曲边梯形面积 (也是相应 函数 的积分)．按这种 思想，面积就化为积分．当然按同样的思想 ，也可以用积分来计算其他的量．历史上最早有过这种思 想的，其实是公元前三世纪的著名古希腊数学家阿基米德[1]，他在求一些特殊图形 (抛物线 弓形 ，螺 线形等)的面积时，就是先用分划得到 由一些小的梯形合并成的，原图形 的内接和外接图形 ，然后 求出二者面积 ，但他没有加细分划 ，由此取极限来得到所要求的图形面积，而是假定该 图形面积的 一 个值，再用反证法证明其正确 (穷竭法)．在这些步骤中，怎么作分划 ，怎么求分成的小直线形的面 积和，都与图形的几何特性密切相关．因此，阿基米德的方法中只有初步的积分思想，感性成分还很 重 ，远未达到真正的积分；用这种方法 ，他本人也只能艰难地处理少数特殊情况，更难 以推广．相 比 之下，化曲边梯形面积为积分的三个步骤，则完全是程式化的；并且在通常情况下，积分还另有实际 可行的，用原函数计算的方法 (牛顿 一莱布尼兹公式)，一般不需要真正计算积分和与其极 限．因此， 积分的思想和方法易于为广大人群所掌握 ，作为一种有效的计算工具，从它出现 以后 ，应用的领域 日益扩展． 然而，积分并不单纯是一种计算工具．函数的积分值反映的是，函数值在积分区域上总体的变 化效果，可用以刻画函数在区域上的变化性态．因此，积分在数学本身的理论 中，也是有力的研究工 具．而理论在发展 ，工具也要跟着改进．在十九世纪前期，数学分析对于单个函数在个别点的基本性 态已经研究得 比较透彻，这 以后数学的发展促使分析数学开始转向主要研究，在一定的区域上具有 收稿 日期：2008—05—16，修改 日期：2009—06—12 第 12卷第 4期 常心怡 ：再谈为什么要学习勒贝格积分 9 某些共 同特性的函数类 (函数空间)，而这些 “共同特性”往往就是用积分刻呵的．例如，十九世纪后 期 出现的傅里叶分析，在数学理论上以及物理和工程方面都十分有用 ，而早期的研究 已经表 明，平 方可积函数的傅里叶级数，有一系列有意义的性质 (像Bessel不等式 ，平方平均收敛等)．于是 ，平方 可积的函数就成了一个较早就受到特别注意的函数类 (平方可积函数空间)．这同代数 中把元素间 有一定 的代数运算 的集合 (代数系 ，如群 、环 、域等)作为研究对象的思想类似．代数系对于所具有