几何,弦论与量子环的不变性-台大数学系.PDF

幾何, 弦論與量子環的不變性 (慶祝中央大學數學與理論物理中心開幕) 王金龍 臺大數學系 2008/9/26 幾何, 弦論與量子環的不變性 1 1. 前言 • 在二十世紀初期, 也就是近一百年之前, 數學與理論 物理學的發展有著息息相關, 相輔相成的關係. • 在大尺度的世界裡, 黎曼幾何成為了愛因斯坦的廣義 相對論的自然語言, 相對論也提供了二十世紀幾何研 究的自然素材. • 在小尺度的世界裡, 量子力學的發展融合了數學中的 分析(變分法, 希伯爾特空間算子論), 幾何(哈彌爾 頓力學, 辛幾何學), 代數(群表示理論), 以及機率 統計方法, 並與這些數學理論的研究平行地成長. 幾何, 弦論與量子環的不變性 2 • 那是一個輝煌的年代, 其成就也為近代科 技奠定了堅實的理論基礎. • 不過, 很快地(約在二戰之前)數學與物理 在各自的世界裡面臨了本質不同的挑戰. 幾何, 弦論與量子環的不變性 3 • 數學面臨自身論證基礎的一致性問題. 數學家被 迫重新檢視其公設系統, 數理邏輯. 每一個數學 的分支都不能倖免於這一波可能撼動數學千年根 基的嚴峻考驗. • 除了電腦的發明, 數學的應用漸漸遠離了數學發 展的核心. 法國的布爾巴基學派(Bourbaki)是這 一個時期的代表. 甚至有數學家以其研究與實體 世界毫無關聯而引以為傲. 幾何, 弦論與量子環的不變性 4 • 在 70 年代中期, 透過規範場論與矢量叢理論, 數學與物 理的研究似乎又重新找回共通之處時. 數學家 Dieudonne 仍然堅稱數論將為數學保留一塊永不受科學污染的淨土 (近年來的發展顯示, 數論與物理的研究也愈趨相關). • 另一方面, 在理論物理的發展歷史上, 如何將大尺度與小 尺度的作用力在一致的理論中實現(所謂的統一場論)是許 多人夢寐以求的終極理論. • 眾多嘗試所需的數學模型已不再存在. 最著名者如費因曼 的路徑積分. 這個理論必須在無窮維度的路徑空間中進行 積分. 至今數學上仍然無法嚴格建構這種理論, 但是它已 經被物理學家使用了數十年, 並且有著不能撼動的地位. 幾何, 弦論與量子環的不變性 5 • 弦論(string theory)是一個企圖統一所有已知基本作 用力的物理理論. 弦論經歷了幾次的改革之後, 在 80 年代初成熟. 在包含 Witten 等人的努力下, 不少 人認為終極理論(theory of everything) 已經找到. • 然而由於弦論運用巨大且艱深的數學工具, 其涉及的 物理量也無法透過實驗量測, 因此更多物理學家不相 信弦論, 視之為一個艱難的數學遊戲. • 但事實上弦論企圖使用更多缺乏嚴格基礎的數學論證, 因此多數數學家也不能接受弦論. 幾何, 弦論與量子環的不變性 6 • 80 年代是一個奇妙的年代. 幾個事件扭轉了數學與 物理之間的關係. • 首先英國數學家 Donaldson 利用規範場論中 Yang- Mills 方程式的解空間的初等拓樸性質得到了幾何學 中四維度空間結構的重大突破. 這是物理思想透過嚴 格數學回饋高等數學研究的首例. • 在當時許多數學家仍以為這傴傴是一個偶然的特例.