函数方程的柯西解法.PDF

专家名著 函数方程的柯西解法 田增伦 在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本节我们 就来研究函数方程的柯西解法. 在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数. 而本节中的函数， 它的定义域都是在某一区间上的实数. 柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所 有实数值的函数方程的解. 如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的. 也就是说，可能存在着不同的函数， 满足同一个函数方程. 为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条 件，例如要求所求的函数必须是连续的，或者必须是单调的. 在本节里，要求函数方程的解 都必须是单调函数. 什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当x2 x1时，有 f (x ) f (x ) ，就是说函数f (x) 单调增加. 如果对于较大的自变量的值，函数值反而较 2 1 小；即当x x 时，有f (x ) f (x ) ，就说函数f (x) 单调减小. 单调增加和单调减小 2 1 2 1 的函数，统称单调函数. 在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理. 这个原理是这样的： 设有一个区间序列： [ ••, ],•••[ ••, ],•••[ ••, ],••• •••, [ ••, ] •, （78 ） 1 1 2 2 3 3 n n 其中每个区间都包含着后一个区间： [ ••, ] [• ,• ],•••(i 1,2,3,•••••• ) i i i1 i1  （其中 是集的包含符号）形成一个“ 区间套” ，而且区间长度可以任意地小（就是说，不 论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78 ）中总存在这样一个区间，从此以后所有的 区间的长度都小于 ε ）. 那末，必定存在着唯一的一个点 ξ，被所有（无穷多）这些区间所 包含.   -n 特别是当ξ 是无理数时，如果把 和 取作ξ 的精确到10 的不足近似值和过剩近似 n n 值. 那末以ξ 的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套. 相应的区间的长度是 -n 10 . 例如，我们知道，圆周率π 是一个无理数：  3.1415926535•89793•• . 于是，可以构成区间套 [3.1• ,•• 3.2] [3.14•,•• 3.15] [3.141• ,•• 3.142] •• . 区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2 ，3.142-3.141=10-3 ，…. 我们注意到，每个区 间的端点 和 都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π 被包含在所有这些区间之内. n n 有了这些准备之后，我们转入函数方程的柯西解法的讨论. [例19] 解函数方程 f (x y ) f (x) f (y )•. （79 ） 解 由函数方程（79 ）容易推得（用数学归纳法）： f (x x x ) f (x ) f (x ) f (x )•. （80 ） 1 2 n 1 2 n x x  x x• 在（80 ）中如果令 1 2 n ，