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半质环的若干交换性条件.PDF
第 13 卷第 3 期 工 科 数 学 V o l. 13,N o. 3
1997 年 6 月 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICS FOR T ECHNOLO GY Jun. 1997
半质环的若干交换性条件
孟宪利
(安徽电力职工大学, 合肥 230022)
( ) ( )
设 表示结合环 可以设有单位元 , 为环 的中心, 对任意 , ∈ , [ , ]= -
R Z R R x y R x y xy
[ 1 ] ( ) 2 2 ( ) [ 2 ]
. 郭元春 证明了满足 - ∈ 的半质环是交换环 魏宗宣 用类似的方法证
y x xy xy x Z R
明了满足( ) 2 - 2 ∈ ( ) 的半质环是交换环 我们推广上述结果, 证明了下面的定理.
xy y x y Z R
定理 设R 是半质环, 则下列条件等价:
( ) 是交换环;
i R
( ) 对任意 , ∈ , 存在正整数 = ( ) , = ( ) ( 或者 = ( ) , = ( ) ) , 使得
ii x y R n n x m m x n n y m m y
( ) m ± n ∈ ( ) ;
xy xy x Z R
( ) 对任意 , ∈ , 存在正整数 = ( ) , = ( ) ( 或者 = ( ) , = ( ) ) , 使得
iii x y R n n x m m x n n y m m y
( ) m ± n ∈ ( ).
xy y x y Z R
我们先证明下面引理.
引理 1 设环R 可嵌入除环中, 且满足下列条件之一:
( 1) 对任意 , ∈ , 存在正整数 = ( ) ( 或者 = ( ) ) , 使得
x y R n n x n n y
[xy nx , xy ]= 0;
(2) 对任意 , ∈ , 存在正整数 = ( ) ( 或者
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