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第 四 章 圓 與 球 面 一. 圓的方程式 A-1.求下列各條件之圓方程式: (1)通過點(-1,5), 圓心為(2,1)。 (2)A(3,-8), B(-7,4),以為直徑。 (3)過A(-1,5), B(5,5), C(6,-2)三點。 (4)以(3,-1)為圓心, 且與X軸相切。 Ans:(1)x2+y2-4x-2y-20=0 (2)x2+y2+4x+4y-53=0 (3)x2+y2-4x-2y-20=0 (4)x2+y2-6x+2y+9=0 A-2.求下列各圓的圓心,半徑： x2+y2-8x=0。 2x2+2y2-6x+2y-5=0。 Ans:(1)圓心(4,0),半徑4 (2)圓心,半徑 A-3.試判斷A(0,1), B(0,6), C(3,0), D(-1,3)四點是否共圓？ Ans:是 A-4.若三直線x-y-4=0, 3x-y-10=0與2x+y-20=0圍成一個三角形, 試求此三角形的外接圓方程式。 Ans:x2+y2-6x-8y=0 B-1.若一圓過兩點A(5,1),B(3,-1)且圓心在直線x+2y=3上, 求此圓方程式。 Ans:(x-5)2+(y+1)2=4 B-2.設x2+y2+2(m-1)x-2my+3m2-2=0之圖形為一圓,求(1)m的範圍 (2)m為何值時, 圓之面積最大？此最大的面積為何? Ans:(1)-3m1 (2)m=-1 (3) B-3.已知A(1,1),B(-1,1)兩點, 試求通過A, B兩點且圓心到的距離等於的圓方程式。 Ans:或 B-4.平面坐標上,A(3,0), B(0,0), 若動點P滿足, 則動點P的軌跡為何？ Ans:以圓心(-1,0),半徑為2的圓 B-5.求通過A(7,1), B(0,8)兩點且與軸相切的圓方程式。 Ans: (x-4)2+(y-5)2=25或(x-12)2+(y-13)2=169 C-1.(1)設P(6,5), Q為圓x2+y2=4上之動點, 求之中點軌跡方程式。 (2)設在圓內, 若P為圓上之動點, 求之中點軌跡方程式。 Ans: (1) (2) C-2.設點為圓內的一點, 求過點A的所有弦的中點所成圓形軌跡方程式。 Ans: C-3.在平面上給定相異兩點A, B, 若動點P滿足,試證明時, 動點P的軌跡必為一圓。 C-4.若一動點與兩定點的距離平方和為一常數, 試證明動點的軌跡必為一圓。 二. 圓與直線的關係 A-1.設直線:x-y+k=0,求k值使與圓x2+y2-2x+2y+1=0相切, 相離, 相交於兩點。 Ans:相切:k=-2, 相離:k-2+或k-2-, 相交於兩點:-2-k-2+ A-2.設方程式x2+y2+4x-2ky+(k+6)=0之圖形為一圓, 且點(1,0)在圓外,求k值。 Ans:-11k-1或k2 A-3.圓C:x2+y2-6x-8y=0, 點P(-3,-4), 直線:4x+3y+36=0, 則 圓C上的點與點P之最遠距離為何？其坐標為何？ 圓C上的點與直線之最近距離為何？其坐標為何？ Ans:(1)15,(6,8) (2)7,(-1,1) A-4.直線x+y=3截圓(x-1)2+(y-1)2=1於A,B兩點,求=? Ans: A-5.一圓x2+y2+4x-6y-12=0, 求滿足下列各條件之切線方程式。 過點(1,-1)。 過點(3,6)。 斜率為2。 平行於直線3x-y+1=0。 垂直於直線x+y=1。 Ans:(1)3x-4y-7=0 (2)8x+15y-114=0,x=3 (3)y=2x+7 (4)3x-y+9=0 (5)x-y+5=0 A-6.求點(2,5)到圓: 2x2+2y2+2x+4y-9=0之切線段長。 Ans: A-7.試就值討論圓與直線的關係, 並討論其幾何意義。 B-1.試求圓心在直線2x+y=0上且與直線x+y-1=0相切於點A(2,-1)之圓方程式。 Ans: (x-1)2+(y+2)2=2 B-2.試求與圓C: x2+y2-6y-16=0及軸都相切, 且半徑為5的圓方程式。 Ans:(x+6)2+(y+5)2=25, (x-6)2+(y+5)2=25, (x+4)2+(y-5)2=25, (x-4)2+(y-5)2=25 B-3.已知圓與兩軸相切, 且圓心在2x+3y+5=0上, 求圓的方程式。 Ans:(x+1)2+(y+1)2=1, (x-5)2+(y+5)2=25 B-4.求符合聯立不等式的所有點所形成的區域面積。 Ans: C-1.設一圓切軸於(0,5)且被軸所截之弦長為24, 求此圓之方程式。 Ans: (x-13)2+(y-5)2=169, (x+13)2+(y-5)2=16