施密特正交化).doc

施密特正交化在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。 记法 ：维数为n 的内积空间 ：中的元素，可以是向量、函数，等等 ：与的内积 ：、……张成的子空间 ：在上的投影 基本思想 图1 v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。Vk是Vn上的k 维子空间，其标准正交基为，且v不在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影之差 是正交于子空间Vk的，亦即β正交于Vk的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η1,...,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间span{v,η1,...,ηk}的标准正交基。 根据上述分析，对于向量组{v1,...,vm}张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不妨设为v1）所张成的一维子空间span{v1}开始（注意到{v1}就是span{v1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： ? ? 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为a, b = bTa： 下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量： 下面验证向量β1与β2的正交性： 将这些向量单位化： 于是{η1,η2}就是span{v1, v2} 的一组标准正交基。 不同的形式 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。 例如，在实向量空间上，内积定义为： 在复向量空间上，内积定义为： 函数之间的内积则定义为： 与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。 2