平面几何中的几个着名定理.PDFVIP

平面幾何中的幾個著名定理 幾何學起源於土地測量，幾千年來，人們對幾何學進行了深入的研究，現已發展成為一門具有嚴密的邏輯體系的 數學分支。人們從少量的公理出發，經過演繹推理得到不少結論，這些結論一般就稱為定理。平面幾何中有不少定理， 除了教科書(融入在各章節中以及高二的幾何學)中所闡述的一些定理外，還有許多著名的定理，以這些定理為基礎，可 以推出不少幾何事實，得到完美的結論，以至巧妙而簡捷地解決不少問題。而這些定理的證明本身，給我們許多有價 值的數學思想方法，對開闊眼界、活躍思維都頗為有益。有些定理的證明方法及其引伸出的結論體現了數學的美，使 人們感到對這些定理的理解也可以看作是一種享受。下面我們來介紹一些著名的定理： 1 、梅內勞斯定理 (孟氏定理) 亞歷山大裏亞的梅內勞斯(Menelaus ，約西元100 年，他和斯巴達的 Menelaus 是兩個人)曾著《球面論》，著重討 論球面三角形的幾何性質。以他的名字命名的「梅內勞斯定理(孟氏定理) 」，可在高二的幾何課本裡找到相關資料，是 證明點共線的重要定理。 AX BY CZ 定理 1 一直線與△ABC 的三邊 AB 、B C 、CA 或延長線分別相交於 X 、Y 、Z ，則 × × 1 。 XB YC ZA 證明 過 A 、B 、C 分別作直線 XZY 的垂線，設垂足分別為 Q 、P 、S ，如圖1-1 。 AX AQ 由△AXQ 、△BXP 相似得 。 XB BP A B Y BP CZ CS X 同理 、 。 P YC CS ZA AQ Q Z S AX BY CZ 將這三式相乘，得 × × 1 。 XB YC ZA B C Y 圖 1-1 說 明 (1) 如果直線與△ABC 的邊都不相交，而相交在延長線上，同樣可證得上述結論，但一定要有交點，且交點不在頂點 上，否則定理的結論中的分母出現零，分子也出現零，這時定理的結論應改為 AX ×BY ×CZ XB =×YC ×ZA ，仍然 成立。 (2) 梅內勞斯定理的逆定理也成立，即 AX BY CZ 「在△ABC 的邊 AB 和 AC 上分別取點 X 、Z ，在B C 的延長線上取點 Y ，若 × × 1 ，則X 、Y 、Z 三點共 XB YC ZA 線」。 梅內勞斯定理的逆定理常被用來證明三點共線。 A 例1 已知△ABC 的內角 ∠B 和 ∠C 的平分線分別為 BE 和 CF ， ∠A 的外角平分線與 B C 的延長線相交於 D ，求證：D 、E 、F 共線。 F