拓扑向量空间中实齐性连续函数的延拓定理.PDFVIP

第3 卷第3 期 应用泛函分析学报 V o l3　N o 3 2 0 0 1 年9 月 A CTA ANAL YS IS FUN CT IONAL IS A PPL ICA TA Sep. , 2001 文章编号: (2001) 拓扑向量空间中实齐性连续函数的延拓定理 傅小红 (嘉应学院数学系, 广东 梅州　514015) 摘要: 　得到如下结果: 在有限维具 T 0 公理的拓扑向量空间中, 其内任意不含原点的有界闭集上定义的齐性 连续函数均可延拓为全空间上的齐性连续函数. 关键词: 　齐性函数; 连续函数; 延拓 中图分类号: 　 177. 3+ 1 O 在点集拓扑中, 人们均熟悉有关闭集上实连续函数延拓的 T ietze 扩张定理. 本文将在 ( ) ( 有限维 具 T 0 公理的 拓扑向量空间中来研讨相应的齐性连续函数的延拓问题. 这里, 我 们均在实空间讨论) 首先, 注意到[ 1 ] 中第40 页的定理 3, 我们知道: “任何一个具 0 公理的实 维拓扑向 T n 量空间必与相应的欧氏空间R n 拓扑等价. ”因此, 我们的讨论只须在R n 中进行则可. 然后, 我们引入三个引理: 引理 1　设 F 是R n 中不含原点的有界闭集, 当令 F = ∪F ∈R n 时, 则F 亦为R 中的闭集. ( ) 证　对任意元列{ n n } , 且有 n n → →∞ 时, 若 = , 显然有 ∈ . 下面讨论 a F a b n b b F b ≠ 的情况. ( ) 注意到 是有界集的假设, 由有界集等价定义 [1 ], 24 则有: 存在 0, ∈ , 使 F P 0 N 0 N n 时, 有 . N 0 n 0 ( ) 又由设 , 故又存在 0 0, 使‖ ‖ 0 ∈ . 这样, 由前面极限关系, 则可导 F a a F ( ) 出: n 0 ∈ . n N ( ) 总上则知{n }有界. 由此, 必存在收敛子