数系的引入与拓展.PDF

数系的引入与拓展 1 自然数，整数 • 上帝创造了自然数，其余的就是人的工作了。————克罗尼克 • 整数是全部数学的基础。————闵可夫斯基 • 数的历史：公元前3400年有文字记载。 • 我国 《九章算术》，成书最迟在公元1世纪， 内容涵盖从小学到中学 全部数学内容 ：分数四则运算、比例算法、三元线性代数方程组、开方、 计算一些几何图形的面积和体积等。 人类几千年建立的算术内容，我们中学之前就学会了。 2 自然数的记数法与十进制 商代中期甲骨文中发现10进制，最大数为三万。 印度最早在6世纪末发现10进制。 现代记数法是由印度和阿拉伯引入的。 意义 ：可以用有限个符合驾驭无穷多的自然数 ； 所有自然数都可以方便清楚地表示出来。 3 学习自然数的方式 4 直观与生成 可直观地发现其性质，比如7 ，12. 当数比较小时， 通过扳手指或数苹果，可以直观得到10以内加减法。 扩展升级到20 以内加减法 （涉及到进位）， 再扩展到100以内加减法。 再得到加法和乘法的交换律、结合律等规则。 自然数对减法和除法不封闭。 5 逻辑与生成 当数比较大时， 直观性逐渐变得困难，比如47. 减法和除法对自然数也不封闭，也不满足交换律和结合律。 如何解释减法100-97= 引入方程97+x 100 类似地解释72 8等价于解方程8x 72 6 数系的扩张（逻辑路程） 自然数扩张到整数，减法封闭；整数扩张到有理数，除法封闭。 x a b , ax b 方程的角度 ： 实数的出现 ： 2 如何求解x =a？ 无理数是无限不循环小数。 可以证明：有理数是无限循环小数， 有理数与无理数一起构成实数。 7 真实历史 一直到十六、十七世纪，数学家才逐渐接受负数和无理数。 帕斯卡的朋友阿诺德的观点。 莱布尼兹对阿诺德观点的看法(1712) Wallis对负数的观点 ：比无穷大还要大。 8 抽象逻辑的威力 x 10 2在自然数中无解，引入负数，得到整数集合 ； 3x 2在整数中无解，引入分数，得到有理数集合 ； x 2 2在有理数中无解， 引入无理数，得到实数集合 ； x 2 -1在实数中无解， 如何解决？ 卡尔达诺(1501-1576)求解方程x (10 x ) 40 “算术就是这样神妙地搞下去的，它的目标，正如常言所说， 是又精致又不中用的。”