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柯西、琴生与幂平均不等式-建中数学科.PDF
柯西、琴生與幂平均不等式
徐健策
Cauchy inequality (柯西不等式) ：
設 a 、a 、… 、a 與 b 、b 、… 、b 為兩組實數，則有不等式
1 2 n 1 2 n
n n n
( a b )2 ≤( a 2 ) ( b 2 )
∑ ∑ ∑
i i i i
i 1 i 1 i 1
a a a
等號成立在 1 2 L n 。
b b b
1 2 n
證明：
(1) 利用二次函數恆正
2 2 2
令 f (x) = (a x−b ) + (a x−b ) + … + (a x−b ) ≥ 0
1 1 2 2 n n
n n n
∴ D = 4 ( a b )2 −4 ( a 2 ) ( b 2 ) ≤0 即得。
∑ ∑ ∑
i i i i
i 1 i 1 i 1
1 2 2
(2) 利用不等式 ab ≤ (a +b )
2
1 1
n 2 2 n 2 2 a ai b bi n 2 n 2
令 A = ( a ) ，B = ( b ) ；且 ， ，則 (a ) 1 ， (b ) 1
∑ i ∑ i i i ∑ i ∑ i
i 1 i 1 A A i 1 i 1
1 2 2 1 2 2
考慮 a b ≤ (a +b ) ， … ，a b ≤ (a +b ) 相加即得。
1 1
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