柯西收敛原理数项级数.PDFVIP

柯西收敛原理 数项级数 杨超 中山大学 hp://mail.sysu.edu.cn/home/yangch8@mail.sysu.edu.cn/calculus 一、柯西收敛原理 {a } {a } 定理1. 设 是一个数列， 有极限的充分必 n n ε N 要条件是：对任意给定的 ，都存在 ，使得 n N ,m N a − a ε 只要 ，就有 n m 定义：满足定义1中条件的数列（序列）称为柯西 序列。 即定理1可表述为：一个序列有有限的极限等价于 它是柯西序列。 y = f (x ) a 定理2. 设 在 的一个空心邻域有定义， lim f (x ) 则函数极限 存在的充分必要条件是： x →a ε 0 δ 0 对任意给定的 ，存在一个 ，使得 0 x − a δ ,0 x − a δ 当 时，就有 1 2 f (x ) − f (x ) ε 1 2 二、数项级数及其敛散性 一个形如 ∞ a + a + a + !+ a + != ∑ a 1 2 3 k k k =1 a 的式子称为一个无穷级数。 称为级数的通项。 k 级数的收敛与发散 ∞ a n 级数 的前 项和 ∑ k k =1 n Sn = ∑ ak k =1 {S } 称为级数的部分和。若部分和构成的数列 有 n ∞ S a S 极限 ，称 收敛，且称 为级数的和，记 ∑ k 作 k =1