金融时间序列分析 第3章 单位根检验.doc

第三章 单位根检验 §3.1 整的次数的确定 一、 整的次数是决定一个时间序列性质的关键因素。我们首先研究为0，1这两种情况下的性质。 1 ，，记为；此时为0阶整，平稳过程。假设均值为零，则过程有如下性质： 1） 方差有限，并且与时间无关； 2） 扰动项对的影响有限，暂时的； 3） 在均值附近波动，重复通过均值0的期望时间均值有限； 4） 对于足够大的滞后，自相关函数的大小持续下降。的总和有限。 2 ，，记为；此时为1阶整过程，其有如下性质： 1） 时间趋向于无穷时，方差趋向于无穷； 2） 扰动项对的影响持久；并且使所有历史扰动项的总和 3） 重复通过0的期望时间无限； 4） 随着向无限扩展，自相关函数。 注： 非平稳性可以通过散点图和自相关图观测出来，但它们不能判断非平稳性的具体形式。 例子： 考察过程 平稳时其所有根都在单位圆外，即满足。 假设其中的一个根与1相近，记作，为一个很小的正数。此时自相关函数 意味着其支配作用，此时由于近似为1，则指数衰减十分缓慢，且几乎呈现出线性特征。 问题：MA过程会不会出现这种情形？当时，能不能用ARMA进行建模，为什么？ 二、 过度差分问题 对于非平稳过程，我们要进行差分；但是过度差分却是有害的，平稳过程进行差分仍然是平稳过程，此时就是过渡差分问题。 过度差分的后果： 考虑MA(1)过程 现在进行差分（过渡差分）： 这是我们比较它们的方差： 所以 结论：过渡差分会增大过程的方差。 §3.2 单位根检验 一、 单位根过程 1 定义：随机过程是一个单位根过程，如果 ； 其中，为一平稳过程，且 2 单位根过程和平稳过程的区别： 现在考虑简单的AR(1)过程 ；为严格白噪声，独立同分布，这里 现在我们来估计参数。 构造最小二乘估计量 时，因为独立同分布，则和不相关。——为什么？ 于是根据大数定律，当时，以概率收敛于参数。 所以时，是一致估计。 大数定律（切贝晓夫大数定律）： 设随机变量序列两两不相关，且它们的方差有公共的上界，即，则当时，。 根据中心极限定理 所以 如果，即单位根情况下，OLS估计量的方差为零。此时发生质的变化，即极限分布出现了变化，需要新的工具。 二、 泛函中心极限定理和维纳过程 1 标准维纳过程 标准维纳过程是定义在闭区间上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件：（1）；（2）闭区间上任何一组有限分割， 的变化量 为相互独立的随机变量；（3）对任何，。 维纳过程可以看作区间上的独立增量过程，增量过程服从同分布的正态分布。可以看作区间上的连续随机游动。 2 Lindeberg Levy 林德贝格-列维中心极限定理 若为一独立同分布的随机变量序列，且有，那么序列的标准化样本均值 由正态的极限分布，即当时 。 泛函中心极限定理（多斯科定理） （functional central limit theorem）(Donsker theorem) 设为一列独立同分布的随机变量序列，对所有的，有为闭区间上的任意实数。给定样本，取前部分样本作统计量 那么当时，有极限 这里表示弱收敛。 证明： 设为闭区间上的任意实数，对于给定的时间序列样本，取前部分样本，并构造统计量。 当在闭区间上从0到1连续变化时，对于给定的样本，是闭区间上的阶梯函数，取值为 当时 根据Lindeberg Levy中心极限定理 为什么？ 对于 所以有极限分布 对于， 所以 泛函中心极限定理包含三个含义： 1） ； 2） ； 3） 4 连续映照定理 设为一随机变量，并以分布收敛于某一随机变量，若为连续函数，那么随机变量序列的分布收敛于随机变量，记为 。 §3.3 单位根检验 一、 DF检验 考虑AR(1)过程 ；。 则时，OLS得到的统计量，没有意义；需重新构造统计量。——看构造什么样的统计量？ 问题：为什么对进行调整？ 这样构造有什么意义？ 中分子分母的极限分布情况。 时， 为什么？ 于是 于是 以为 所以 这里 所以 而且 为什么？ 所以 其中为卡方分布。 现在考察分母的极限情况。 （为什么不是卡方分布） 卡方分布： 设为相互独立同分布的随机变量，定义，则的分布服从自由度为的卡方分布，记作。 因为 所以 为了使均值收敛，须对其按进行调整 即时， 下面考察 所以 因此对于模型 建立假设检验： 原假