随机分析及均方微分方程.ppt

二、均方可积准则 定理1 即黎曼积分 存在 证 由均方收敛准则可知， 即 存在 首页 如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分 首页 定理2 证明 由定理1知， 三、均方积分的性质 性质1 首页 性质2 其中 性质3 首页 性质4 性质5 （均方可积的唯一性） 四、均方积分的数字特征 1．随机过程 积分的期望 首页 证 注1 注2 首页 2．均方积分的方差及协方差函数 则 证 首页 注 同样可以证明 3．均方积分的自相关函数及互相关函数 则 首页 证 只证明 其他类似可证 首页 例1 解 在定义中可取 则 所以 首页 例2 解 讨论维纳过程 的均方可积性。 且有 由于 对一切有穷的u存在， 首页 例3 解 设 所以 首页 * 第四章 随机分析及均方微分方程 第一节 二阶矩过程 第二节 均方极限 第三节 均方连续性 第四节 均方导数 第五节 均方积分 第六节 均方黎曼—司蒂吉斯积分 第七节 均方导数与均方积分的分布 第八节 均方微分方程 第一节 二阶矩过程 定义 则称为二阶矩过程 首页 例1 其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量， 解 由于 和V都服从正态分布，所以 也具有正态分布， 且 首页 性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 由许瓦兹不等式得 故 即二阶矩过程 的协方差函数存在 注 首页 说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。 返回 首页 第二节 均方极限 一、均方收敛 定义1 设随机变量序列{ ，n = 1,2,…}和随机变量X都存在二阶矩， 如果 则称{ }均方收敛于X， 或称X是{ }的均方极限 记作 或简记为 首页 二、均方收敛准则 定理1 柯西准则 则 均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为 均方收敛于X， 所以有 首页 又由 所以 故 首页 注 等价 存在 其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。 三、均方收敛性质 性质1 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 注 当 均方收敛于X时， 的期望收敛于X的期望 首页 性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 首页 性质3 若 则对任意常数a、b都有 证 因为 故得证 首页 性质4 若 则 注 因 = 证 于是 即 返回 首页 第三节 均方连续性 均方收敛 定义1 即 则称 在点t均方连续。 一、均方连续 称 在 时均方收敛于 首页 二、均方连续准则 定理1 则 证 充分性 则 所以 首页 再证必要性 又 由均方收敛性质2得 定理2 证 由定理1知， 首页 再由均方收敛性质2，得 即 首页 定理3 则 证 由均方连续定义 从而 说明 在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。 首页 例1 试讨论其均方连续性。 解 泊松过程的均值、方差函数为 则相关函数 首页 同样 因此 由于 故 注 此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。 返回 首页 第四节 均方导数 一、均方导数的定义 定义1 如果均方极限 存在 则称 在t处均方可微， 并将此极限记作 即有 或 首页 二次均方可微 二阶均方导数 定义2 广义二次可微 存在 首页 二、均方可微准则 定理1 证 由均方收敛准则知 的充要条件是 存在 而 存在 首页 三、均方导数的性质 性质1 性质2 首页 性质3 性质4 证1 首页 其它类似可证 性质5 首页 四 1． 证 注 均方导数 的均值等于均值函数的导数。 而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。 首页 2. 证 首页 注 求偏导数得到。 3． 证明 首页 即 同理可得 又因 故 首页 注 随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。 例1 证明 返回 首页 第五节 均方积分 一、均方黎曼可积 定义1 分割 作和式 如果 则称 并称 记作 即 首页