高数第8章二重积分.ppt

先对x后对y的积分 法二 例 siny2 对y的积分 方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 将所给的积分域 (1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 交换积分次序. 用联立不等式表示 o x y * 第八章 二重积分 8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算 8.3 二重积分的应用 曲顶柱体体积= 例 曲顶柱体的体积 D 曲顶柱体 以xOy面上的闭区域D为底, D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 侧面是以 顶是曲面 且在D上连续). 8.1 二重积分的概念与性质 1、二重积分的概念 柱体体积 = 分析 曲边梯形面积是如何求 解决问题的思路、步骤与 回忆 分割、 曲边梯形面积 的求法类似 取近似、 求和、 取极限. 底面积×高 （1）分割： 用一组曲线网把 D分成n个小的闭区域 同时表示这些小的闭区域的面积. 任取小区域， 对应小曲顶柱体的体积的 (2) 取近似 （3）求和 体积之和近似表示曲顶柱体的 体积 曲顶柱体的体积 （4）取极限： 步骤如下: 近似值为 用若干个小平顶柱体 上面问题所求量归结为求某一形式的和的极限．这种 极限问题在物理、力学、几何和工程技术中是经常见到的, 有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限． 因此要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分 的定义． 也表示它的面积, 定义8.1 作乘积 并作和 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 这和式 则称此 零时, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于 的极限存在, 极限为函数 二重积分, 记为 即 二重积分可写为 则面积元素为 D y x d d d = s 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D, (2) 2、二重积分的几何意义 (3) (1) 在D上的二重积分就等于 二重积分是 二重积分是 而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的 柱体体积的代数和. 那末, 曲顶柱体体积的负值; 曲顶柱体体积; 在D上的若干部分区域上是正的, 例 设D为圆域 二重积分 = R D 根据二重积分的几何意义,确定积分值 性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面. 性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各函数的二重积 分的和(或差) . (k为常数) 3、二重积分的性质 性质3 将区域D分为两个子域 o x y D1 D2 对积分区域的可加性质. D 以1为高的 性质4 若 为D的面积， 注 既可看成是以D为底, 柱体体积. 又可看成是D的面积. 特殊地 性质5(比较性质) 设 则 练习： 比较 o x y 1 ? ?1 ?2 (2,1) ? 性质5(比较性质) 的大小, 则( ) 几何意义 以m为高和以M为高的两个 性质6(估值性质) 则 σ为D的面积, 则曲顶柱体 的体积介于以D为底, 平顶柱体体积之间. 则 ) , ( ) , ( y x g y x f ￡ 设 解 估值性质 区域D的面积 在D上 例 不作计算, 性质7(二重积分的中值定理) 体积等于 显然 几何意义 证 D上连续, σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 使得 则曲顶柱体 以D为底 为高的平顶柱体体积. 将性质5中不等式各除以 有 由闭区域上连续函数的性质即可得结论. 8.2 二重积分的计算 1、X型区域和Y型区域 区域D为： X－型 穿过区域且平行于y轴的直线 X型区域的特点: 与区域边界相交不多于两个交点. 区域D为： Y－型 穿过区域且平行于x轴的直线 Y型区域的特点: 与区域边界相交不多于两个交点. 用二重积分的几何意义讨论 的计算 2、利用直角坐标计算二重积分 （1）设积分区域D为： 等于以D为底, 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 由二重积分的几何意义 ， 计算截面面积 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底, 曲线 如果可以用另外的方法计算此体积， 就是二重积分的值。 则其结果 a b ) ( 1 x y j = 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法? 0 x 此曲边梯形面积如何计算？ 有: 先对y后对x的二次积分 称为 累次积分. a b ) ( 1 x y j = 0 x 积分区域D为： 计算二重积分： 1 用两个不等式描述积分区域； 2 利用变量的积分限，将二重积分转化为二次积分； 3 依次计算两个定积分。