第五章向量的内积.ppt

定理11 惯性定理 定义10 类似地,可以定义负定二次型和负定矩阵 证 ? A, B 都是n 阶正定矩阵 ? ?X ?Rn , X ? 0 , 有 X TAX 0 , X TBX 0 ? X T (kA + l B)X = k X TAX + l X TBX 0 ? kA + l B 为正定矩阵. 例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB也是正定矩阵 (k 0, l 0). 证 设某 aii ≤ 0， 取 X = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)T 第 i 个分量 则 X TAX = aii ≤ 0， 矛盾. 所以 aii 0， (i = 1, …, n). 例 设A = (aij)n?n 是正定矩阵. 证明: aii 0 (i=1,…,n). 例 f (x1, x2 , x3) = x12 + 4x22 + 2x32 + 2t x1x2 + 2 x1x3, t 为何值时，f 为正定二次型？ 解 所以，当 时f 为正定次型 需 例 设实对称矩阵A = (aij)n?n 是正定矩阵. b1, b2, …, bn是任意n个非零实数，证明: B = (aii bibj)n?n为正定矩阵. 证 正定矩阵A的k 阶顺序主子式 | Ak | 0 , (k = 1, …, n). 所以， | Bk | 0 , (k = 1, …, n). B 为正定矩阵. 例 判定二次型的正定性： f (x1, x2 , x3) = -5x12 - 6x22 - 4x32 + 4 x1x2 + 4 x1x3 解 即 (-1)k Pk 0 (k = 1, 2, 3) f 负定. 基本要求 (1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示,了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯性定理等概念. (2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解用配方法化二次型为标准形的方法. (3)理解正定二次型及正定矩阵的概念,会判别二次型及实对称矩阵的正定性. 注: 例11 设A是奇数阶实矩阵， 证 思考题 ： 例3 设矩阵 解 例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： 证 由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要. 定理 7 实对称矩阵的特征值全为实数. 定理 8 定理 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。 推论 对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关 若λ是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 证明（略） 由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到 定理 10 实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正 交矩阵P,使P-1AP=Λ，其中Λ是以 A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。 基本要求 (1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量. (2)了解相似矩阵的概念及性质. (3)理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法. (4)了解实对称矩阵的性质,掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法. 一、 二次型及其标准形 §5.4 实二次型 定义9 第五章 二次型特征值、特征向量与二次型 本章将把几何空间R3中数量积的概念推广到向量空间Rn中，以使Rn中能有向量长度、正交等概念。然后讨论：对一个n阶方阵A，如何求出一个可逆的n阶方阵P，使P-1AP具有尽可能简单的形式，即矩阵的相似化简问题。最后讨论二次型化为标准形问题，特别是用正交线性变换将二次型化为标准形的方法，并给出判定二次型正定性的充要条件。 §5.1 向量的内积 一、向量的内积 二、向量组的正交化 三、正交矩阵 定义1 内积 一、向量的内积 定义2 令 长度 范数 二、向量组的正交化 定义3 由定义不难看出，零向量与任何同维向量都正交。 定义4 一组两两正交的非零向量组称为正交向量组 定理1 几　何　解　释 再把它们单位化,得 定义5 三、正交矩阵 定义6 1．将一组基规范正交化的方法： 　 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化． 2． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立： 四、小结 §5.2 特征值与特征向量 定义7 设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得 Ax=λx (5.5) 则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.