第五节对角矩阵.pptVIP

主要内容 充分必要条件 第 五 节 对 角 矩 阵 特征值与特征向量的性质 举例 一、充分必要条件 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种. 现 在我们来考察，究竟哪些线性变换的矩阵在一组适 当的基下可以是对角矩阵. 定理 8 设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性 变换， A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的 充分必要条件是， A 有 n 个线性无关的特征向量. 证明 设 A 在基 ?1 , ?2 , … , ?n 下具有对角矩 阵 即 A ?i = ?i?i , i = 1 , 2 , … , n . 因此， ?1 , ?2 , … , ?n 就是 A 的 n 个线性无关的特 征向量. 反过来，如果 A 有 n 个线性无关的特征向量 ?1 , ?2 , … , ?n ，那么就取 ?1 , ?2 , … , ?n 为基，显然 在这组基下 A 的矩阵是对角矩阵. 证毕 二、特征值与特征向量的性质 定理 9 属于不同特征值的特征向量是线性无 关的. 证明 对特征值的个数作数学归纳法. 由于特 征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性 无关. 现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性 无关，我们证明属于 k + 1 个不同的特征值 ?1 , ?2 , … , ?k+1 的特征向量 ?1 , ?2 , … , ?k+1 也线性无关. 假设有关系式 a1?1 + a2?2 + … + ak?k + ak+1?k+1 = 0 成立. 等式两端乘以 ?k+1 ，得 a1?k+1?1 + a2?k+1?2 +…+ ak?k+1?k + ak+1?k+1?k+1 = 0 第一式两端同时施行变换 A ，得 a1?1?1 + a2?2?2 +…+ ak?k?k + ak+1?k+1?k+1 = 0 第三式减去第二式得 a1(?1 - ?k+1)?1 + … + ak (?k - ?k+1) ?k = 0 . 根据归纳法假设， ?1 , ?2 , … , ?k 线性无关， ai (?i - ?k+1) = 0， i =1, 2, … , k . 但 ?i - ?k+1 ? 0 (i ? k)，所以 ai = 0， i =1, 2, … , k . 这时等式 a1?1 + a2?2 + … + ak?k + ak+1?k+1 = 0 变成 ak+1?k+1 = 0 . 又因为 ?k+1 ? 0，所以只有 ak+1 = 0 . 所以?1 , ?2 , … , ?k+1 线性无关. 证毕 于是 从上面这两个定理就得到 推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 A 有 n 个不同的特征值，那么 A 在某组基下的矩 阵是对角形的. 因为在复数域中任一个 n 次多项式都有 n 个根, 所以上面的论断可以改写成 推论 2 在复数域上的线性空间中，如果线性 变换 A 的特征多项式没有重根，那么 A 在某组 基下的矩阵是对角形的. 在一个线性变换没有 n 个不同的特征值的情形 要判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问 题就要复杂些. 为了利用定理 8 ，我们把定理 9 推广为 定理 10 如果 ?1 , ?2 , … , ?k 是线性变换 A 的不同的特征值，而 是属于特征值 ?i 的线性无关的特征向量，i = 1 , … , k , 那么向量 组 也线性 无关. 这个定理的证明与定理 8 的证明相仿，也是对 k 作数学归纳法 . 证明略. 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于 每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一 起还是线性无关的. 如果它们的个数等于空间的维 数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是 对角矩阵； 如果它们的个数少于空间的维数，那么 这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角 形的. 于是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充 分必要条件也可叙述成： 设 A 全部不同的特征值是 ?1 , ?2 , … , ?r ，于 是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条 件是 A 的特征子空间 的维数之和 等于空间的维数. 当线性变换 A 在一组基下的矩阵 A 是对角形 时： A 的特征多项式就是 | ?E - A | = (? - ?1) (? - ?2) … (? - ?n) . 因此，如果线性变换 A 在一组基下的矩阵是对角 形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的. 它们正是 A 的特征多项式全部的根 (重根按重数计 算) . 三、举例 例 1 设线性变换 A 在基 ?1 , ?2 , ?3 下的矩阵 为 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对 形？