第四章分形-Read.doc

第四章 分 形 引言 公元前300年，欧几里德在总结人们生产实践的基础上建立了几何学原理。于是几何学成了处理各种图形对象最常用的方法，对于其它对象如物理问题，当化解为图形时也常用到几何学原理。为了测量一条线段的长度，一个四边形的面积…；计算一块立方体木材的密度，一块带电圆球体的电势，…，人们通常不言明地假定：线段是笔直的，四边形是规则的，木材的密度是均匀的，而带电圆球体的表面是光滑的。在这些假设下就可以用一个整数去表征一个图形的维数，即大家熟悉的所谓三维空间、二维平面和一维线段等概念，在理论物理研究中甚至还会用到n维的假想空间，这里都利用了欧几里德几何学原理。伽利略曾经说过，自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆和其它图形。其实大自然是异常复杂、丰富多彩的，那些简单、正规的理想对象只是少数。例如，那块木材内部可能疏密不均，甚至存在空洞，如已被白蚁咬的千窗百孔；那个带电球体表面可能凹凸不平，如此等等。分形理论的创始人、美国科学家曼德布罗特(Mandelprot)曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。 另一方面应该注意到，许多形状不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性。例如，皮兰（Perrin）于1908年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，虽然实际的布朗微粒的轨迹是弯弯曲曲的曲线，但是他每隔30秒记录一次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到如图4-1所示的一幅由长长短短的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔3秒，画出的另外一幅微粒的轨迹图。但将这两图进行比较一下可以发现，两幅图虽不尽相同，它们具有同等的复杂程度，前者可以看成为后者在尺度上的适当放大。实际上，这种两图之间在不同尺度上的相似性在还可以进一步扩展。例如，如果充许，我们可将记录微粒坐标的时间间隔延长到每隔数小时一次，或者缩短到每隔数毫秒一次。因此，记录的时间间隔跨度可以扩展到了~秒。而实验结果告诉我们，虽然记录时间间隔相差很大，但它们仍都具有相同的复杂性，因此，布朗微粒轨迹图存在自相似性。 再如，人们在考察海岸线时发现，不管是漫步在海岸边看到的厘米量级的海岸线长度，还是从人造卫星上观察到的数千米跨度，海岸线的弯曲的复杂程度也可能是相同的。这种用不同尺度去测量都有相似的结果说明，这些测量对象没有特征尺寸，或者说它们具有尺度（标度）不变性。 ? 图4-1 布朗微粒运动的径迹 ? 基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。首先，他在1973年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接着在1977年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在1982年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说，分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义，而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见，分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。 第一节 豪斯道夫维数与规则分形 1. 豪斯道夫维数与相似维数 为了研究分形，首先来看一下数学家们是如何定义几何图形的维数的。我们考虑几个最简单的几何图形。取一个长度为l的线段，把它放大2倍，则放大以后的长度2l。一个边长为l的正方形，面积为l2，现在将每边长放大2倍，则放大后的面积为4 l2。一个边长为l的立方体，体积为l3，现在将每边长放大2倍，则放大后的体积为8 l3，如图4-2所示。于是，边长放大2倍前后的关系可以整理如下： 线段(一维图形) 正方体(二维图形) 立方体(三维图形) 图4