算子代数上的广义正定函数33.PDFVIP

数 学 年 刊 18A : 2 ( 1997) ,187 - 192 算子代数上的广义正定函数 吴良森 提 　　要 本文研究定义于基本函数空间 或 上取值于vonNeumann 代数或 - - 代数中的广义函数. 证明了 D S C 每个从局部紧的交换群到 C - 代数的范数连续正定函数可以表示为正向量值测度的富里埃变换. 也得到 了广义正定函数和平移不变厄米正定双线性泛函的一般表示定理. 关键词 　算子代数 ,广义正定函数 , C - 代数 ,von Neumann 代数 MR( 1991) 主题分类　47C15 ,30 G35 中图法分类　O177. 6 ,O174. 55 §1. 引 　言 Schwartz 的分布理论开拓了函数理论的新时代 ,并且为微分方程理论提供了有力的工 具. 随着算子代数理论的发展 ,“非交换分析”也蓬勃发展起来. 我们期望算子代数上的分布 理论为 C 代数上的微分方程提供有力的工具. Matsumoto[1 ,2 ] 　推广了 Schwartz 的理论 得到算子代数上的分布论 ,并将其应用到解 C 代数上的微分方程. 因为广义正定函数为 广义随机过程提供了有力的工具 ,这促使我们发展算子代数上的正定广义函数理论. 设 A 是 C 代数 , M 是vonNeumann 代数. 设 D 是 R n 上具有紧支集的无穷可微函数全 体 , S 是 R n 上无穷可微快速下降函数全体组成的空间. 我们定义取值于 A 或 M 的广义函数 为 D (或 S ) 到 A (或 M ) 的线性连续映射 ,即 ( ) ( ( ) ) ( ) D ′M D ′A = { v | v 是从 D 到 M A 的线性连续映射} , ( ) ( ( ) ) ( ) S′M A = {u | u 是从 S 到 M A S′ 的线性连续映射}. 本文包括下述内容 : 第 2 节推广了数值连续正定函数的 Bochner 定理 ,证明了定义于局部紧的交换群 G 上 取值于 C 代数 A 的范数连续正定函数可表示为取值于 A″的正向量值测度的 Fourier 变 ( ) 换. 作为推论 ,证明了若 f t 是从局部紧交换群 G 到 vonNeumann 代数 M 的范数连续函 ( ) μ 数 ,则 f t 是正定的充要条件是存在取值于 M 的共轭群 G^ 上的正向量值测度 ,使得 ( ) ( ) μ( ) f t = t , s d s . ∫ G^ 　本文 1995 年 6 月 3 日收到,1996 年 5 月 8 日收到修改稿. 华东师范大学数学系 ,上海 200062 国家自然科学基金资助的项目. 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 188