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ARMA功率谱估计 1 背景： 若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程 （1） 式中e（n）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA模型。系数a1,a2……ap,和b1,b2……bq,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p和q分别叫做AR阶数和MA阶数。 式（1）所示的ARMA过程，其功率谱密度为 （2） ARMA谱估计的目的是使用N个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA过程{x(n)}的功率谱密度估计。 在实际中，可以运用cadzow谱估计子和kaveh谱估计子来估计，cadzow谱估计子秩序确定AR阶数p和估计AR参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR阶数p和估计AR参数以及MA阶数。 2 算法： AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。 SVD—TLS算法： 步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V; 步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p； 步骤3 计算矩阵S; 步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。 3 Matlab仿真 假定仿真的观测数据数据由 （3） 产生，其中w(n)是一高斯白噪声，其均值为0，方差为1，并取n=1,…..,128，这里分别用一般的最小二乘法和SVD—TLS方法估计观测数据的ARMA模型参数。 图1是用周期图法仿真得到的此信号的功率谱图： 用最小二乘法（LS）进行谱估计 用最小二乘法进行谱估计时需要预先设置ARMA模型的阶数P，这里分别设置P=4，P=100，编写程序得出仿真波形如图2，图3： 图2 AR阶数P=4 图3 AR阶数P=100 用SVD—TLS算法进行谱估计 按照上面介绍的步骤，编写程序对观测信号x(n)进行仿真，可以设置不同的M，qe，pe的值，以便分析对比。图4和图5是设置了不同的M,qe,pe后得出的x(n)的功率谱图形： 图4 Qe=50M=30Pe=20 x(n)的功率谱图形 图5 M=100,qe=80,pe=50 x(n)的功率谱图形 4 功率谱分析 以上分别用了周期图法，ARMA模型的参数化估计（LS算法和SVD—TLS）算法对同一观测信号进行了功率谱的估计，通过仿真结果对比，可以得出以下有用的结论： 周期图法的分辨率低，不能适应高分辨率功率谱估计的需要，与之相比，参数化谱估计可以提供比周期图高得多的频率分辨率。可以看出，图1所示的功率谱波形勉强可以看到在f=0,213处有一个很小的尖峰，分辨率不好，而运行良好的参数化谱估计，如图5，则可以明显的分辨出f1=0.2和f2=0.213两处的功率谱，分辨率高。 LS算法和SVD—TLS算法比较，仿真波形的误差较大，这是由于LS算法的ARMA的阶数P是任意设定的，并没有遵循严格的理论依据；而且，在Ax=b中，LS算法只是考虑了b的误差和扰动，而SVD—TLS算法则是综合考虑了A和b的误差与扰动。所以，LS算法存在较大误差，而SVD—TLS算法则有较好的结果。 无论是TL算法还是SVD—TLS算法，阶数P（M，pe，qe）的设置不同，会导致得出不同效果的仿真波形。在TL算法中，P的设置过大时会导致功率谱波形波动大，图形不稳定；在SVD—TLS算法中，M，pe，qe的设置应尽量大一些，这样才能得到良好的功率谱波形，如图5。