2001年北京市中学生数学竞赛.doc

2001年北京市中学生数学竞赛 初中二年级初赛试题 （2001年4月1日8：30～10：30） 亲爱的中学生朋友： 欢迎你参加本次竞赛活动！ 中国的未来需要众多的人才，人才市场培养需要从青少年时代奠基．打好数学基础有助于从事各行业的发展．北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平．“解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神”，祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔． 一、选择题1．是等边三角形的一个内角，是顶角为的等腰三角形的一个度角，是等腰直角三角形的一个底角．则（ ） A．B．C．D． 2．（ ） A．B．C．D． 3．A．B．C．D．4．是两位的正整数．则（ ） A． B． C． D． 5．（ ） A．B．C．D．6．的七位小数值是．并取为密率、为约率． 则、、之间的正确关系是（ ） A．B． C．D． 二、填空题是负整数，且是一个完全平方数．求的最大值． 2．如右图，是正方形，是正三角形．确定的度数． 3．若、都是正整数，且．求的值． 4．若有理数，，满足．确定的值． 5．如右图，将边长为12厘米的正方形折叠，使得点落在边上的点，然后压平得折痕．若的长为13厘米．求线段的长． 6．化简： 7．将1～2001这二千零一个自然数依次写成一行，组成一个新的自然数．求这新的自然数除以9所得的余数． 8．已知实数，满足方程组，求． 初中二年级复赛试题 （2001年4月15日8：30～10：30） 一、填空题（满分40分，每小题8分） 1．已知有理数满足方程，则 ． 2．如图，正方形的面积是64平方厘米，正方形的面积是36平方厘米．与相交于．则的面积等于 平方厘米． 3．已知且．则 ． 4．化简下面的表达式 所得的结果等于 ． 5．在边长为1厘米的正中，为边上一点．作于点，作于点，作于点．如果点恰与点重合，则的面积是 平方厘米． 二、（满分15分） 证明恒等式：． 三、（满分15分） 在六张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6．打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这六个整数．然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的． 四、（满分15分） 如图，在等腰中中，延长边到点，延长边到点，联结，恰有．求证：． 五、（满分15分） 1与0交替，组成下面形式的一串数 101、10101、1010101、101010101，… 请你回答，在这串数中有多少个是质数？并请证明你的论断．  2001年北京市中学生数学竞赛 初中二年级初赛试题答案 （2001年4月1日8：30～10：30） 一、选择题是等边三角形的一个内角，所以． 是顶角为的等腰三角形的一个底角， 所以．是等腰直角三角形的一个底角， 所以． 而，即．选B． 2．B ，16的平方根为．选B． 3．A 如果已知角不是三角形两边夹角时，这两个三角形未必全等． 如与中，，，，但并不全等于即①是假命题． 由两个三角形全等的判定条件知，②与③都是真命题． 如果中，，此时与中三个内角分别对应相等．但与不全等．即④是假命题．所以选A． 4．D 采取验算法： ，其中，排除A． ，其中，排除B． ，其中，不是两位正整数．排除C． ，其中，是两位正整数．所以选D． 5．D 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，反之亦真．排除A． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，反之亦真．排除B． 一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形，反之亦真．排除C． 而一组对边平行另一组对边相等的四边形，可以是等腰梯形，所以不正确的命题是D． 6．C 由计算知，． 所以，选C． 二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填在指定的地方） 1． 由，当为负整数时，．又要是一个完全平方数． ，， ，， …… 可见，负整数的最大值是． 2． 由是正方形，． 又是正三角形， 所以．又中， 所以 同法可求得． 所以． 3．9 无论为任何正整数，的个位数字是0，于是的个位数字是1，可知的个位数字是7． 显然为17，27，37，…等个位是7的数时，等式不成立，所以，进而求得，所以． 4． 由，得． 于是 即 所以，，． 于是． 5．7 过作于．即，又， 所以（如图）． 在与中，，， 所以． （厘米），又（厘米） 在中，应用勾股定理，得 （厘米） 所以（厘米） 6．2 由 ． 所以原式 ． ． 7．6 令，被99除的余数等于的数字和被9除的余数．而，所以1～1998这1998个数的数字和被9整除．又知 被9除余数是6，所以被9除的余数是6． 8． 由变形为 得