Kalman滤波算法介绍及Matlab仿真.doc

摘 要 本文详细介绍了Kalman滤波理论，导出了Kalman滤波算法，在此算法的基础之上用Matlab对Kalman滤波器的自适应特性进行了仿真。通过建立模型，在系统的状态端和观测端分别引入高斯白噪声，并通过改变噪声的强度分析了Kalman滤波器的相关特性。 关键词：Kalman 滤波器 Matlab 引言 随着现代通信系统复杂度的提高，对原消息信号的还原成为通信系统中最为重要的环节，而噪声是接收端需要排除的最主要的干扰，人们也设计出了针对各种不同条件应用的滤波器，其中最速下降算法是一种古老的最优化技术，而卡尔曼滤波器随着应用条件的精简成为了普适性的高效滤波器。Kalman滤波方法在工程实践中获得广泛的应用，例如，应用于制导、控制、GPS定位、故障诊断、多传感器信息融合等领域，对国防建设起着至关重要的作用。 本文首先导出Kalman滤波器的基本算法，并在此基础之上用Matlab对Kalman滤波器的自适应特性进行了仿真，通过建立模型，在系统的状态端和观测端分别引入高斯白噪声，并通过改变噪声的强度分析了Kalman滤波器的相关特性。 1 Kalman滤波器的算法介绍 1.1 Kalman滤波器的基本思想 卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。 图1.1线性动态离散时间系统的信号流图表示 图1.1信号流图隐含着一下两个方程： （1）过程方程： (1.1) 式中，向量表示噪声过程，可建模为零均值的白噪声过程，且其相关矩阵定义为： (1.2) （2）测量方程： (1.3) 其中C(n）是已知的测量矩阵。向量称为测量噪声，建模为零均值的白噪声过程，其相关矩阵为： (1.4) 测量方程(1.2)可测系统输出与状态之间的关系，如图1.1所示。 1.2 新息过程 为了求解卡尔曼滤波问题，我们将应用基于新息过程的方法。根据之前所述，用向量表示时刻到时刻所有观测数据过去值给定的情况下，你时刻观测数据的最小均方估计。过去的值用观测值表示，他们张成的向量空间用表示。从而可以定义新息过程如下： (1.5) 其中向量表示观测数据的新息。 1.3 应用新息过程进行状态估计 下面，我们根据信息过程导出状态的最小均方估计。根据推导，这个估计可以表示成为新息过程序列的线性组合，即： (1.6) 其中是一组待定的矩阵。根据正交性原理，预测状态误差向量与新息过程正交，即： (1.7) 将式(1.6)代入（1.7）利用新息过程的正交性质，即得： (1.8) 因此，式(1.8) 同时右乘逆矩阵，可得的表达式为： (1.9) 最后，将式(1.9)代入（1.6）得最小均方差估计： (1.10) 故对于，有： (1.11) 然而，时刻的状态与时刻的状态的关系式由式可以推导出对于，有： (1.12) 其中只与观测数据有关。因此可知，与彼此正交(其中)。利用式(1.11)以及当时的计算公式，可将式(1.11) 的求和项改写为： (1.13) 为了进一步讨论，引入如下基本定义。 1.4 Kalman增益 定义矩阵为： (1.14) 其中是状态向量和新息过程的互相关矩阵。利用这一定义和式(1.13) 的结果，可以将式(3.11)写为： (1.15) 式(1.15)明确的物理意义。它标明：线性动态系统状态的最小均方估计可以由前一个估计求得。为了表示对卡尔曼开创性贡献的认可，将矩阵称为卡尔曼增益。 现在剩下唯一要解决的问题是，怎样以一种便于计算的形式来表示卡尔曼增益。为此，首先将与乘积的期望表示为： (1.16) 式中利用了状态与噪声向量互不相关这一事实。其次，由于预测状态误差向量与估计正交，因此与乘积的期望为零。这样，