分段函数的教学设计.doc

分段函数的教学设计 北京工大附中 杨冬梅 教学目标： 通过分析分段函数的基本性质进一步巩固基本函数的性质，提高对函数的认识； 通过利用分类的思想把分段函数转化为基本函数去研究，再对所得结果进行整合，来渗透分类整合的思想和转化方法； 通过利用函数的图象突破难点直观分析函数的性质，来提高数形结合解决问题的能力； 通过利用函数思想解决方程、不等式等问题，提高学生综合分析问题的能力，进一步渗透函数思想； 通过利用函数图象解决分段函数的单调区间，并能从图象中分析参数对函数最值的影响. 教学重点：分段函数的性质 教学难点：分段函数的单调性 教学方法：引导探究式 教学用具：计算机 教学过程： 师：同学们好！ 生：老师好！ 师：请坐！ 前面我们已经复习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数，这些函数具有一个共同的特点，就是用一个解析式就可以表达。还有另外一类函数，在它的定义域范围内，当x取不同值时具有不同的对应法则，这就是我们前面学过的分段函数。从这节课开始，我们就来复习分段函数。 师：分段函数在我们日常生活中具有广泛的应用，比如说停车计费、缴纳的个人所得税，这些都是分段函数在实际生活中的应用。下面我们来看这样的一个实际问题。（打出课件） 例1、（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 说明：安排此例题的目的有两个：（1）目前，高考比较注重考查学生解决实际问题的能力，而且此题所设置的情景贴近学生的实际生活，可以让学生感受到数学在实际生活中的应用价值；（2）通过对此题的解决可以让学生感悟到从实际问中提取数学模型和解决实际问题的方法（读懂题；读懂图） （给3分钟左右的时间，让学生独立完成解题过程；通过提问，让学生简单说明解题的思路、过程及结果；） 师：（请一位学生分析）赵梦晓！ 生：在第一个小时内走了60千米，解析式为s=tv，即s=60t 生：当t在（1，1.5]区间内时，s应该等于60 师：解析式写完了吗？ 生：（学生思考）当t在（1.5，2.5]，s初始的位置是60，所以s=60+80（t-1.5） 师：正确，请坐。 这样就写出了s与t之间的关系。从这个关系中可以看出，s是t的一个分段函数。根据它的解析式，我们应该选择哪组图象呢？ 生：(齐声回答) C 师：对。我们通过例1，应能够正确地写出分段函数的解析式。在写解析式的过程中，我们一定要注意分段函数的定义域。反过来，如果给了分段函数的解析式，就应该能够正确地画出分段函数的图象。从图象中，可以分析分段函数的定义域。如这道题从图象中我们看到定义域是从0到2.5，值域是0到140，两端都应该是闭的；路程的最大值应该140千米。 师：当t在[0，1]范围内时，s是t的增函数。当t在[1.5，2.5]范围内时，s也是t的增函数。实际问题是高考考查的重点，关键是要读懂题、读懂图。 师：分段函数和其他数学的知识有着紧密的联系。下面我们来看一下分段函数与不等式和方程的一个综合问题。 例2：已知函数f (x) = （1）不等式xf (x – 1) 10的解集是 ； （2）方程xf (x – 1)=log4x的根的个数为 ； 说明：安排此例题的目：解决分段函数与不等式、方程的相关问题，突出分类整合、数形结合、函数思想。 （给3分钟左右的时间，让学生独立完成解题过程；教师巡视；请一位学生简单讲解题思路） 生：（闫迪优）需要分类讨论。 当x-1=2时，f(x)=x-1-2。就是x(x-1-2)10，不等式组，取交。 当x-12时，-2x10, 也是取交。两个不等式组都解出来后，取并集。 即：不等式组 或 师：还有别的解法吗？提示：画图象。 生：可以。 师：用图像的方法解决该问题时，要注意应该画整体xf(x-1)的图像。 师：闫迪优同学，你是用什么方法来解决这个问题的。 生：分类讨论的方法。 师：好，请坐。实质上，我们是抓住了分段函数本质的一个特点，把该问题转化到每一个段上去求解，最后把解集进行整合，这也就是我们数学上分类整合的一个思想。 下面我们再来看一个分段函数与方程的问题。 （给2分钟左右的时间，让学生独立完成解题过程；教师巡视；请一位学生简单讲解题思路） 生：（请陈芳曦