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宁波镇海仁爱中学初二年级数学竞赛试题 一．填空题（每题5分，共30分） 1. 已知，则＝　　　　　　； 2. .对于任意实数a、b、c、d，我们规定，如果，则x的取值范围是______________. 3. 观察下列图形 则图②中的三角形的个数为_________，图③中的三角形的个数为___________ 4. 在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝BE，P是AC上一动点， 则PB＋PE的最小值是　　　　　； 5.观察下列等式： 32+42 = 52 102+112+122 =132+142 212+222+232+242 =252+262+272 那么下一个等式的表达式是： . 6.[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2]=3，已知正整数n小于2004，且，则这样的n有___________个。 二．选择题（每题5分，共30分） 7.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么，当输入数据是8时，输出的数据是（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 8. 小伟自制了一个孔成像演示仪，如图所示，在一个圆纸筒的两端分别用半透明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( ) （A）?? （B）? （C）? （D） 9. 如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等到式组的整数对（m,n）共有（ ） A．49对 B．42对 C．36对 D．13对 10.如图，有一长方形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积与△ADE的面积的比为（　　）  A.4∶9　　　　B.2∶3　　　　C.1∶2　　　　D2∶5 11. 、如图，啤酒瓶高为，瓶内酒面高为，若将瓶盖好后倒置，酒面高为（），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（　　） （A）　　　（B）　　　（C）　　　（D） 12. 对于任何实数，关于方程都有实数根，则实数的取值范围 是（　　） A、≤0　　　　B、≤　　　　C、≤－1　　　　D、≤ 三．解答题（共60分） 13．(本题12分)已知写文章、出版图书所获得稿费的纳税计算方法是 　　其中表示稿费为元应缴纳的税额。假如张三取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到7104元，问张三的这笔稿费是多少元？ 14.（本题13分）.清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很有兴趣的帝王。近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法： “若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数。” 用现在的数学语言表述是： “若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则 第一步：； 第二步：； 第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长。” （1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程。 （1）解： （2）证明： 15.（本题15分）已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值。 16.（本题20分） 求证：面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）为顶点的三角形面积不超过S.