【高中数学课件】互为反函数的函数图像之间的关系及应用ppt课件.ppt

练习4：已知函数 的图像经过点（1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x). * * 高一数学多媒体演示课 天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 互为反函数的函数图像之间的 关 系 及 应 用 江一中新校园︱学生餐厅 1.叙述反函数的定义： 一般地，函数y=f(x)(x?A )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = ? (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = ? (y)在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = ? (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = ? (y),(y?C)叫做函数y=f(x) ,(x?A)的反函数，记作 x = f ?1(y) 字母x、y互换，得 y=f-1(x) 一、复习提问： 天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 求反函数的基本步骤： ⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f?1(y); ⑵.将x，y互换得到y = f?1(x); ⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域). 反解 互换 写出定义域 2、求反函数有哪些基本步骤？ 解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时它才有反函数. 4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？ 3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的 坐标为 . （b, a） （即横坐标与纵坐标对换位置） 例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。 解： ∵y=3x-2 函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y= 0 -2 y 0 x 0 y 0 -2 x ∴x= 1 -2 -1 1 -1 -2 x y y=3x-2 二、讲授新课 首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系 （x∈R) 互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理： 函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。 问题： 回答： 注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的。 3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为 反函数，图像关于直线y = x对称； 函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为反函数，图像相同。 4）如果两个函数的图象 关于y = x 对称，那么 这两个函数互为反函数； 1 -2 -1 1 -1 -2 x y y=f(x)=3x-2 函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是 同一函数，图像关于直线y=x对称 例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象. x y 由函数 (x ?R)， 得 所以函数 (x ?R)的反函数是： 解： 3 x y = 注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理， 作出它关于直线y=x对称的 图象，就是反函数y=f－1（x）的图象。 练习1： 画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象. … … 9 4 1 0 y 3 2 1 0 x … … 3 2 1 0 y 9 4 1 0 x  x y 例3、若点P（1，2）在函数 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。 解：由题意知，P（1，2）在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 的图象上。因此，得 解得，a=－3，b=7 然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题 例4、求证：函数 的图象关于直线y=x对称. 证明： ∴yx-y=x (y-1)x=y ∴函数 的反函数为 即：函数 的反函数是该函数自身 ∴函数 的图象关于直线y=x对称 1 －1 －1