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【高中数学课件】余弦定理1 ppt课件
* 高一数学 课题 余弦定理 天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 （1）已知两角及一边； （2）已知两边和其中一边的对角； （3）已知两边及夹角； （4）已知三边. A B C a b c 天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 2. 余弦定理 ∵ a－b＝c， ∴ (a－b)·(a－b)＝c·c ， ∴ |a|2 ＋|b|2 －2a·b＝|c|2, 即 c2=a2＋b2－2abcosC. A B C a b c c2=a2＋b2－2abcosC; b2=c2＋a2－2cacosB; a2=b2＋c2－2bccosA. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍. b2＋c2－a2 2bc cosA＝ c2＋a2－b2 2ca cosB＝ a2＋b2－c2 2ab cosC＝ ; ; . 利用余弦定理，可以解决： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角. A B C a b c c2=a2＋b2－2abcosC. a2＋b2－c2 2ab cosC＝ 例 1：在?ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C. 解： b2＋c2－a2 2bc ∵ cosA＝ ＝0.725， ∴ A≈44° a2＋b2－c2 2ab ∵ cosC＝ ＝0.8071， ∴ C≈36°, ∴ B＝180°－(A＋C)≈100°. ∵sinC＝ ≈0.5954, ∴ C ≈ 36°或144°(舍). c sinA a ( ) 例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. b2＋c2－a2 2bc ∵ cosA＝ ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, ∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′. a sinC c ∵sinA＝ ≈0.6299， ∴ A=39°或141°(舍). ( ) 解： 在?AOB中， ∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120° ＝61, ∴ |a – b|＝√61. 例 4：已知向量a、b夹角为120°， 且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 |a＋b| 及a＋b与a的夹角. a－b a＋b B b A C a 120° O ∴ a＋b ＝√21. ∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°. ∵ cos∠COA＝ ≈0.6546, a 2＋ a＋b 2 – b 2 2 a a＋b 例 4：已知向量a、b夹角为120°， 且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 |a＋b| 及a＋b与a的夹角. a－b a＋b B b A C a 120° O 在?OAC中， ∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60° ＝21, *
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