【高中数学课件】导数的应用ppt课件.ppt

导数的综合应用 * * 天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 求函数的单调区间的一般步骤: （1）求出函数f（x）的定义域A； （2）求出函数 f（x）的导数 ； （4）不等式组 的解集为f（x）的单调减区间； （3）不等式组 的解集为f（x）的单调增区间； 导数的应用一:判断单调性、求单调区间 注、单调区间不 以“并集”出现。 1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f′(x)=0.当f ′(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小） 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件. 导数的应用二:求函数的极值 设函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下 ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 导数的应用三：求函数的最值 四、综合应用: 例1:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx; 解:(1)函数的定义域是R, 令 ,解得 令 ,解得 因此,f(x)的递增区间是: 递减区间是: 解:函数的定义域是(-1,+∞), (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1 由 即 解得x1. 故f(x)的递增区间是(1,+∞); 由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1). 说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集. (3) 解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有: 由 及 解得0x3a/4,故f(x)的递增区间 是(0,3a/4). 由 及 解得3a/4xa,故f(x)的递减区间 是(3a/4,a). 说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得 导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调 性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定 f(x)在这一区间内是常数函数. 练习1:确定函数 的单调区间. 解: 令 注意到 故f(x)的递增区间是(0,100). 同理由 得x100,故f(x)的递减区间是(100, +∞). 说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大 到[0,100)(或[0,100]). (2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时, 都可以把100包含在内. 例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 解: 若a0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a0,则 ,易知此时f(x) 恰有三个单调区间. 故a0,其单调区间是: 单调递增区间: 单调递减区间: 和 例3:当x1时,证明不等式: 证:设 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0. 显然,当x1时, ,故f(x)是[1,+∞)上的增函数. 所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时, 说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明